Matemática básica Exemplos

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 25} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{a}{a^{2} + 10 a + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Etapa 1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

Etapa 1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{a}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = a$ e $b = 5$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{a^{2} + 6 a + 5}$

Etapa 1.2

Fatore $a^{2} + 6 a + 5$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $6$ .

$1, 5$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a}{{(a + 5)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{a}{{(a + 5)}^{2}}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{4 - a}{(a + 1) (a + 5)}$ por $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) (a + 5) (a + 5)}$

Etapa 4.3

Eleve $a + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} (a + 5))}$

Etapa 4.4

Eleve $a + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) ({(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1})}$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{1 + 1}}$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{(a + 1) {(a + 5)}^{2}}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores de $(a + 1) {(a + 5)}^{2}$ .

$\frac{a (a + 1)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)} - \frac{(4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{a (a + 1) - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 1 - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.3

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{a^{2} + a - (4 - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} + a + (- 1 \cdot 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 - - a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.6

Multiplique $- - a$ .

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Etapa 6.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + 1 a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.6.2

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{a^{2} + a + (- 4 + a) (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.7

Expanda $(- 4 + a) (a + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} + a - 4 (a + 5) + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a (a + 5)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 4 \cdot 5 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.1.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a \cdot a + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.8.1.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + a \cdot 5}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.8.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $a$ .

$\frac{a^{2} + a - 4 a - 20 + a^{2} + 5 a}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.8.2

Some $- 4 a$ e $5 a$ .

$\frac{a^{2} + a + a - 20 + a^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.9

Some $a^{2}$ e $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + a + a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.10

Some $a$ e $a$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.11

Fatore $2$ de $2 a^{2} + 2 a - 20$ .

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Etapa 6.11.1

Fatore $2$ de $2 a^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.11.2

Fatore $2$ de $2 a$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 (a) - 20}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.11.3

Fatore $2$ de $- 20$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 a + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.11.4

Fatore $2$ de $2 (a^{2}) + 2 a$ .

$\frac{2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$

Etapa 6.11.5

Fatore $2$ de $2 (a^{2} + a) + 2 \cdot - 10$ .

$\frac{2 (a^{2} + a - 10)}{{(a + 5)}^{2} (a + 1)}$