Matemática básica Exemplos

$\frac{9 y}{y^{2} - 12 + 36} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Some $- 12$ e $36$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 36}$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 12 y + 6^{2}}$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 6$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y}{y^{2} + 24} \cdot \frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{9 y}{y^{2} + 24}$ por $\frac{{(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2}}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54}{{(y - 6)}^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{54}{{(y - 6)}^{2}}$ por $\frac{y^{2} + 24}{y^{2} + 24}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(y^{2} + 24) {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2}}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)} - \frac{54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Fatore $9$ de $9 y {(y - 6)}^{2} - 54 (y^{2} + 24)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $9$ de $9 y {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) - 54 (y^{2} + 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $9$ de $- 54 (y^{2} + 24)$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $9$ de $9 (y {(y - 6)}^{2}) + 9 (- 6 (y^{2} + 24))$ .

$\frac{9 (y {(y - 6)}^{2} - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.2

Reescreva ${(y - 6)}^{2}$ como $(y - 6) (y - 6)$ .

$\frac{9 (y ((y - 6) (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.3

Expanda $(y - 6) (y - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (y (y (y - 6) - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6)) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (y (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.4.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.4.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.4.2

Subtraia $6 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{9 (y (y^{2} - 12 y + 36) - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (y \cdot y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.6

Simplifique.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 6.6.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{9 (y^{1} y^{2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.6.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 (y^{1 + 2} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.6.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{9 (y^{3} + y (- 12 y) + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + y \cdot 36 - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.6.3

Mova $36$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y \cdot y + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.7

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Mova $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 (y \cdot y) + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 \cdot y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 (y^{2} + 24))}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 6 \cdot 24)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.9

Multiplique $- 6$ por $24$ .

$\frac{9 (y^{3} - 12 y^{2} + 36 y - 6 y^{2} - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$

Etapa 6.10

Subtraia $6 y^{2}$ de $- 12 y^{2}$ .

$\frac{9 (y^{3} - 18 y^{2} + 36 y - 144)}{{(y - 6)}^{2} (y^{2} + 24)}$