Matemática básica Exemplos

$\frac{5 r}{r^{2} + 2 r - 35} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $r^{2} + 2 r - 35$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 35$ e cuja soma é $2$ .

$- 5, 7$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

Etapa 1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 7^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = r$ e $b = 7$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r - 7}{r - 7}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ por $\frac{r - 7}{r - 7}$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ por $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(r + 7) (r - 7) (r - 5)$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 r (r - 7) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Fatore $r$ de $5 r (r - 7) - r (r - 5)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $r$ de $5 r (r - 7)$ .

$\frac{r (5 (r - 7)) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $r$ de $- r (r - 5)$ .

$\frac{r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $r$ de $r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))$ .

$\frac{r (5 (r - 7) - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{r (5 r + 5 \cdot - 7 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.3

Multiplique $5$ por $- 7$ .

$\frac{r (5 r - 35 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{r (5 r - 35 - r - - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{r (5 r - 35 - r + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.6

Subtraia $r$ de $5 r$ .

$\frac{r (4 r - 35 + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.7

Some $- 35$ e $5$ .

$\frac{r (4 r - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.8

Fatore $2$ de $4 r - 30$ .

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Etapa 6.8.1

Fatore $2$ de $4 r$ .

$\frac{r (2 (2 r) - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.8.2

Fatore $2$ de $- 30$ .

$\frac{r (2 (2 r) + 2 (- 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 6.8.3

Fatore $2$ de $2 (2 r) + 2 (- 15)$ .

$\frac{r (2 (2 r - 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

$\frac{r \cdot 2 (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Etapa 7

Mova $2$ para a esquerda de $r$ .

$\frac{2 r (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$