Matemática básica Exemplos

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 27}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{c^{3} + 3^{3}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = c$ e $b = 3$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - c \cdot 3 + 3^{2})}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 3^{2})}$

Etapa 1.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{6}{c + 3} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{6}{c + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{3}{c^{2} - 3 c + 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6}{c + 3} \cdot \frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{6}{c + 3}$ por $\frac{c^{2} - 3 c + 9}{c^{2} - 3 c + 9}$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3}{c^{2} - 3 c + 9} \cdot \frac{c + 3}{c + 3} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3}{c^{2} - 3 c + 9}$ por $\frac{c + 3}{c + 3}$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c^{2} - 3 c + 9) (c + 3)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(c^{2} - 3 c + 9) (c + 3)$ .

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} + \frac{3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9) + 3 (c + 3)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)} - \frac{162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 (c^{2} - 3 c + 9) + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 c^{2} + 6 (- 3 c) + 6 \cdot 9 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.1.2

Simplifique.

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 6 \cdot 9 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $6$ por $9$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 (c + 3) - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 c + 3 \cdot 3 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{6 c^{2} - 18 c + 54 + 3 c + 9 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.2

Some $- 18 c$ e $3 c$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c + 54 + 9 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.3

Some $54$ e $9$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c + 63 - 162}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 7.4

Subtraia $162$ de $63$ .

$\frac{6 c^{2} - 15 c - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Fatore $3$ de $6 c^{2} - 15 c - 99$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $3$ de $6 c^{2}$ .

$\frac{3 (2 c^{2}) - 15 c - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.1.2

Fatore $3$ de $- 15 c$ .

$\frac{3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c) - 99}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.1.3

Fatore $3$ de $- 99$ .

$\frac{3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c) + 3 (- 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.1.4

Fatore $3$ de $3 (2 c^{2}) + 3 (- 5 c)$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 c) + 3 (- 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.1.5

Fatore $3$ de $3 (2 c^{2} - 5 c) + 3 (- 33)$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 33 = - 66$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 8.2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 c$ .

$\frac{3 (2 c^{2} - 5 (c) - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva $- 5$ como $6$ mais $- 11$

$\frac{3 (2 c^{2} + (6 - 11) c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 c^{2} + 6 c - 11 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 ((2 c^{2} + 6 c) - 11 c - 33)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 (2 c (c + 3) - 11 (c + 3))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 8.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $c + 3$ .

$\frac{3 ((c + 3) (2 c - 11))}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

$\frac{3 (c + 3) (2 c - 11)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $c + 3$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (c + 3) (2 c - 11)}{(c + 3) (c^{2} - 3 c + 9)}$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (2 c - 11)}{c^{2} - 3 c + 9}$