Matemática básica Exemplos

$\frac{3 z^{2} - 2 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \div \frac{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}{2 z^{2} + 13 z + 15}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{3 z^{2} - 2 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 2 (z) - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 2$ como $3$ mais $- 5$

$\frac{3 z^{2} + (3 - 5) z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 z^{2} + 3 z - 5 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 z^{2} + 3 z) - 5 z - 5}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 z (z + 1) - 5 (z + 1)}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $z + 1$ .

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{z^{2} + 6 z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 3

Fatore $z^{2} + 6 z + 5$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $6$ .

$1, 5$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{(z + 1) (z + 5)} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $z + 1$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(z + 1) (3 z - 5)}{(z + 1) (z + 5)} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e cuja soma é $b = 13$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $13$ de $13 z$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 13 (z) + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $13$ como $3$ mais $10$

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + (3 + 10) z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{2 z^{2} + 3 z + 10 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z^{2} + 3 z) + 10 z + 15}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{z (2 z + 3) + 5 (2 z + 3)}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 z + 3$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{10 z^{2} \cdot (9 z) - 9}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1

Fatore $9$ de $10 z^{2} \cdot (9 z) - 9$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $9$ de $10 z^{2} \cdot (9 z)$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z)) - 9}$

Etapa 6.1.2

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z)) + 9 (- 1)}$

Etapa 6.1.3

Fatore $9$ de $9 (10 z^{2} \cdot (z)) + 9 (- 1)$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{2} \cdot (z) - 1)}$

Etapa 6.2

Multiplique $z^{2}$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $z$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 (z \cdot z^{2}) - 1)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $z$ por $z^{2}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 (z^{1} z^{2}) - 1)}$

Etapa 6.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{1 + 2} - 1)}$

Etapa 6.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(2 z + 3) (z + 5)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $z + 5$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $z + 5$ de $(2 z + 3) (z + 5)$ .

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 z - 5}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Etapa 7.1.3

Reescreva a expressão.

$(3 z - 5) \frac{2 z + 3}{9 (10 z^{3} - 1)}$

Etapa 7.2

Multiplique $3 z - 5$ por $\frac{2 z + 3}{9 (10 z^{3} - 1)}$ .

$\frac{(3 z - 5) (2 z + 3)}{9 (10 z^{3} - 1)}$