Matemática básica Exemplos

$\frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 1$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{1}{a^{2 + a}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ por $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{a^{2 + a}}$ por $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $a$ por $a^{2 + a}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Mova $a^{2 + a}$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $a^{2 + a}$ por $a$ .

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Etapa 6.1.2.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a^{1}) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 a^{2 + a + 1} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.2

Expanda $(a + 1) (a - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a^{a + 3} + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3.1.3

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3.2

Some $- a$ e $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + 0 - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.3.3

Some $a^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$\frac{a^{2} + 2 a^{a + 3} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$