Matemática básica Exemplos

$\frac{3 a}{a^{2} - 4 a - 5} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $a^{2} - 4 a - 5$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Etapa 1.2

Fatore $a^{2} - 9 a + 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ por $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(a - 5) (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 a (a - 4) + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 a \cdot a + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $a$ .

$\frac{3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{3 a^{2} + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4 \cdot 1}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.6

Some $- 12 a$ e $4 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 6.7.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 (a) + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.7.1.2

Reescreva $- 8$ como $- 2$ mais $- 6$

$\frac{3 a^{2} + (- 2 - 6) a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 a^{2} - 2 a - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 a^{2} - 2 a) - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{a (3 a - 2) - 2 (3 a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Etapa 6.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 a - 2$ .

$\frac{(3 a - 2) (a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$