Matemática básica Exemplos

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

Etapa 1

Combine $\sqrt{3}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 2

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.2

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.6

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.7

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.8

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.9.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

Etapa 4.2

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $2 - 2 i$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.5.2

Fatore $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.5.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.5.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 6.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Etapa 8.2

Reescreva a expressão.

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

Etapa 9

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

Etapa 10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

Etapa 10.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 10.3

Simplifique.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Etapa 10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

Etapa 10.6

Combine $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ e $i$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Etapa 10.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

Etapa 11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

Etapa 11.2

Multiplique $- (- i \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

Etapa 11.4

Multiplique $\sqrt{2} i i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

Etapa 11.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

Etapa 11.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

Etapa 11.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

Etapa 11.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

Etapa 11.5.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

Etapa 11.5.3

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

Etapa 12.2

Reordene os fatores de $- \sqrt{2} i$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

Etapa 12.3

Subtraia $i \sqrt{2}$ de $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

Etapa 12.4

Some $- 2 i \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

Etapa 12.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Fatore $2$ de $- 2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

Etapa 12.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

Etapa 12.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 12.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$