Matemática básica Exemplos

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \div \frac{2 a}{3 a^{2} - 5 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 a$ .

$\frac{a - 2}{6 a^{2} - 7 (a) - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $- 7$ como $3$ mais $- 10$

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + (3 - 10) a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a - 2}{6 a^{2} + 3 a - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{a - 2}{(6 a^{2} + 3 a) - 10 a - 5} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{a - 2}{3 a (2 a + 1) - 5 (2 a + 1)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{3 a^{2} - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.3

Fatore $a$ de $3 a^{2} - 5 a$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $a$ de $3 a^{2}$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) - 5 a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.3.2

Fatore $a$ de $- 5 a$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a) + a \cdot - 5}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.3.3

Fatore $a$ de $a (3 a) + a \cdot - 5$ .

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) (3 a - 5)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3 a - 5$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $3 a - 5$ de $(2 a + 1) (3 a - 5)$ .

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{a (3 a - 5)}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.4.2

Fatore $3 a - 5$ de $a (3 a - 5)$ .

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{a - 2}{(3 a - 5) (2 a + 1)} \cdot \frac{(3 a - 5) a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{a - 2}{2 a + 1} \cdot \frac{a}{2 a} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{a - 2}{2 a + 1}$ por $\frac{a}{2 a}$ .

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $a$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(a - 2) a}{(2 a + 1) (2 a)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a - 2}{(2 a + 1) \cdot (2)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.7

Mova $2$ para a esquerda de $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 \cdot (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 a + 5}$

Etapa 1.8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 1.8.1.1

Fatore $11$ de $11 a$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 11 (a) + 5}$

Etapa 1.8.1.2

Reescreva $11$ como $1$ mais $10$

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + (1 + 10) a + 5}$

Etapa 1.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + 1 a + 10 a + 5}$

Etapa 1.8.1.4

Multiplique $a$ por $1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{2 a^{2} + a + 10 a + 5}$

Etapa 1.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a^{2} + a) + 10 a + 5}$

Etapa 1.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{a (2 a + 1) + 5 (2 a + 1)}$

Etapa 1.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 a + 1$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)} \cdot \frac{a + 5}{a + 5} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (2 a + 1) (a + 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{a - 2}{2 (2 a + 1)}$ por $\frac{a + 5}{a + 5}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3 a + 2}{(2 a + 1) (a + 5)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(2 a + 1) (a + 5) \cdot 2$ .

$\frac{(a - 2) (a + 5)}{2 (2 a + 1) (a + 5)} - \frac{(3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(a - 2) (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(a - 2) (a + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a (a + 5) - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 (a + 5) - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 5 - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.2.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $a$ .

$\frac{a^{2} + 5 \cdot a - 2 a - 2 \cdot 5 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{a^{2} + 5 a - 2 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2 a$ de $5 a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - (3 a + 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- (3 a) - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 1 \cdot 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 + (- 3 a - 2) \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 3 a \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.7

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 2 \cdot 2}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.8

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{a^{2} + 3 a - 10 - 6 a - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.9

Subtraia $6 a$ de $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 10 - 4}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$

Etapa 6.10

Subtraia $4$ de $- 10$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 14}{2 (2 a + 1) (a + 5)}$