Matemática básica Exemplos

$\frac{t^{2} + 8 t + 12}{t^{2} + 9 t - 10} + \frac{t^{2} + 2 t - 3}{t^{2} + 12 t + 36}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $t^{2} + 8 t + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $8$ .

$2, 6$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{t^{2} + 9 t - 10} + \frac{t^{2} + 2 t - 3}{t^{2} + 12 t + 36}$

Etapa 1.2

Fatore $t^{2} + 9 t - 10$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $9$ .

$- 1, 10$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} + \frac{t^{2} + 2 t - 3}{t^{2} + 12 t + 36}$

Etapa 1.3

Fatore $t^{2} + 2 t - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{t^{2} + 12 t + 36}$

Etapa 1.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{t^{2} + 12 t + 6^{2}}$

Etapa 1.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$12 t = 2 \cdot t \cdot 6$

Etapa 1.4.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{t^{2} + 2 \cdot t \cdot 6 + 6^{2}}$

Etapa 1.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 6$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{{(t + 6)}^{2}}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(t + 6)}^{2}}{{(t + 6)}^{2}}$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} \cdot \frac{{(t + 6)}^{2}}{{(t + 6)}^{2}} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{{(t + 6)}^{2}}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{(t - 1) (t + 3)}{{(t + 6)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(t - 1) (t + 10)}{(t - 1) (t + 10)}$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)} \cdot \frac{{(t + 6)}^{2}}{{(t + 6)}^{2}} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{{(t + 6)}^{2}} \cdot \frac{(t - 1) (t + 10)}{(t - 1) (t + 10)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(t - 1) (t + 10) {(t + 6)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{(t + 2) (t + 6)}{(t - 1) (t + 10)}$ por $\frac{{(t + 6)}^{2}}{{(t + 6)}^{2}}$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6) {(t + 6)}^{2}}{(t - 1) (t + 10) {(t + 6)}^{2}} + \frac{(t - 1) (t + 3)}{{(t + 6)}^{2}} \cdot \frac{(t - 1) (t + 10)}{(t - 1) (t + 10)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{(t - 1) (t + 3)}{{(t + 6)}^{2}}$ por $\frac{(t - 1) (t + 10)}{(t - 1) (t + 10)}$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6) {(t + 6)}^{2}}{(t - 1) (t + 10) {(t + 6)}^{2}} + \frac{(t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} ((t - 1) (t + 10))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(t - 1) (t + 10) {(t + 6)}^{2}$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6) {(t + 6)}^{2}}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)} + \frac{(t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} ((t - 1) (t + 10))}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de ${(t + 6)}^{2} ((t - 1) (t + 10))$ .

$\frac{(t + 2) (t + 6) {(t + 6)}^{2}}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)} + \frac{(t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(t + 2) (t + 6) {(t + 6)}^{2} + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $t + 6$ por ${(t + 6)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Mova ${(t + 6)}^{2}$ .

$\frac{(t + 2) ({(t + 6)}^{2} (t + 6)) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.1.2

Multiplique ${(t + 6)}^{2}$ por $t + 6$ .

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Etapa 6.1.2.1

Eleve $t + 6$ à potência de $1$ .

$\frac{(t + 2) ({(t + 6)}^{2} {(t + 6)}^{1}) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(t + 2) {(t + 6)}^{2 + 1} + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(t + 2) {(t + 6)}^{3} + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.2

Use o teorema binomial.

$\frac{(t + 2) (t^{3} + 3 t^{2} \cdot 6 + 3 t \cdot 6^{2} + 6^{3}) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{(t + 2) (t^{3} + 18 t^{2} + 3 t \cdot 6^{2} + 6^{3}) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{(t + 2) (t^{3} + 18 t^{2} + 3 t \cdot 36 + 6^{3}) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.3.3

Multiplique $36$ por $3$ .

$\frac{(t + 2) (t^{3} + 18 t^{2} + 108 t + 6^{3}) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.3.4

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{(t + 2) (t^{3} + 18 t^{2} + 108 t + 216) + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.4

Expanda $(t + 2) (t^{3} + 18 t^{2} + 108 t + 216)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{t \cdot t^{3} + t (18 t^{2}) + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $t$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.1.1

Multiplique $t$ por $t^{3}$ .

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Etapa 6.5.1.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{1} t^{3} + t (18 t^{2}) + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{1 + 3} + t (18 t^{2}) + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{t^{4} + t (18 t^{2}) + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{4} + 18 t \cdot t^{2} + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.3.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 18 (t^{2} t) + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.3.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 6.5.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{4} + 18 (t^{2} t^{1}) + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{4} + 18 t^{2 + 1} + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + t (108 t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 t \cdot t + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 6.5.5.1

Mova $t$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 (t \cdot t) + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 t^{2} + t \cdot 216 + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.6

Mova $216$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 t^{2} + 216 \cdot t + 2 t^{3} + 2 (18 t^{2}) + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.7

Multiplique $18$ por $2$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 t^{2} + 216 t + 2 t^{3} + 36 t^{2} + 2 (108 t) + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.8

Multiplique $108$ por $2$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 t^{2} + 216 t + 2 t^{3} + 36 t^{2} + 216 t + 2 \cdot 216 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.5.9

Multiplique $2$ por $216$ .

$\frac{t^{4} + 18 t^{3} + 108 t^{2} + 216 t + 2 t^{3} + 36 t^{2} + 216 t + 432 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.6

Some $18 t^{3}$ e $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 108 t^{2} + 216 t + 36 t^{2} + 216 t + 432 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.7

Some $108 t^{2}$ e $36 t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 216 t + 216 t + 432 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.8

Some $216 t$ e $216 t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t - 1) (t + 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.9

Expanda $(t - 1) (t + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t (t + 3) - 1 (t + 3)) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t \cdot t + t \cdot 3 - 1 (t + 3)) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t \cdot t + t \cdot 3 - 1 t - 1 \cdot 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.10.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + t \cdot 3 - 1 t - 1 \cdot 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.10.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 3 \cdot t - 1 t - 1 \cdot 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.10.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 3 t - t - 1 \cdot 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 3 t - t - 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.10.2

Subtraia $t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) ((t - 1) (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.11

Expanda $(t - 1) (t + 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t (t + 10) - 1 (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t \cdot t + t \cdot 10 - 1 (t + 10))}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t \cdot t + t \cdot 10 - 1 t - 1 \cdot 10)}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.12.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t^{2} + t \cdot 10 - 1 t - 1 \cdot 10)}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.12.1.2

Mova $10$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t^{2} + 10 \cdot t - 1 t - 1 \cdot 10)}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.12.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t^{2} + 10 t - t - 1 \cdot 10)}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.12.1.4

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t^{2} + 10 t - t - 10)}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.12.2

Subtraia $t$ de $10 t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + (t^{2} + 2 t - 3) (t^{2} + 9 t - 10)}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.13

Expanda $(t^{2} + 2 t - 3) (t^{2} + 9 t - 10)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{2} t^{2} + t^{2} (9 t) + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.14.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.14.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{2 + 2} + t^{2} (9 t) + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + t^{2} (9 t) + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{2} t + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.3

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 6.14.3.1

Mova $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 (t \cdot t^{2}) + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.3.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 6.14.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 (t^{1} t^{2}) + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{1 + 2} + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} + t^{2} \cdot - 10 + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.4

Mova $- 10$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 \cdot t^{2} + 2 t \cdot t^{2} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.5

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.14.5.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 (t^{2} t) + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.5.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

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Etapa 6.14.5.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 (t^{2} t^{1}) + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{2 + 1} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 2 t (9 t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 2 \cdot 9 t \cdot t + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.7

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 6.14.7.1

Mova $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 2 \cdot 9 (t \cdot t) + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.7.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 2 \cdot 9 t^{2} + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.8

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 18 t^{2} + 2 t \cdot - 10 - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.9

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 18 t^{2} - 20 t - 3 t^{2} - 3 (9 t) - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.10

Multiplique $9$ por $- 3$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 18 t^{2} - 20 t - 3 t^{2} - 27 t - 3 \cdot - 10}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.14.11

Multiplique $- 3$ por $- 10$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 9 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t^{3} + 18 t^{2} - 20 t - 3 t^{2} - 27 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.15

Some $9 t^{3}$ e $2 t^{3}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 11 t^{3} - 10 t^{2} + 18 t^{2} - 20 t - 3 t^{2} - 27 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.16

Some $- 10 t^{2}$ e $18 t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 11 t^{3} + 8 t^{2} - 20 t - 3 t^{2} - 27 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.17

Subtraia $3 t^{2}$ de $8 t^{2}$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 11 t^{3} + 5 t^{2} - 20 t - 27 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.18

Subtraia $27 t$ de $- 20 t$ .

$\frac{t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + t^{4} + 11 t^{3} + 5 t^{2} - 47 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.19

Some $t^{4}$ e $t^{4}$ .

$\frac{2 t^{4} + 20 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + 11 t^{3} + 5 t^{2} - 47 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.20

Some $20 t^{3}$ e $11 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{4} + 31 t^{3} + 144 t^{2} + 432 t + 432 + 5 t^{2} - 47 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.21

Some $144 t^{2}$ e $5 t^{2}$ .

$\frac{2 t^{4} + 31 t^{3} + 149 t^{2} + 432 t + 432 - 47 t + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.22

Subtraia $47 t$ de $432 t$ .

$\frac{2 t^{4} + 31 t^{3} + 149 t^{2} + 385 t + 432 + 30}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$

Etapa 6.23

Some $432$ e $30$ .

$\frac{2 t^{4} + 31 t^{3} + 149 t^{2} + 385 t + 462}{{(t + 6)}^{2} (t + 10) (t - 1)}$