Matemática básica Exemplos

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + x - 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$

Etapa 7

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2, - 3$

$x = 7$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 2, - 3, 7$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 7 = 0$

Etapa 10.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 6}{(- 6) - 7} \leq 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{846153}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 6}{(0) - 7} \leq 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $0.\overline{857142}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 - 6}{(4) - 7} \leq 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 4.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{{(10)}^{2} + 10 - 6}{(10) - 7} \leq 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $34.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $2 \leq x < 7$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 3 or 2 \leq x < 7$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup [2, 7)$

Etapa 15