Matemática básica Exemplos

$\frac{z}{z^{2} - 64} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 8^{2}} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = 8$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 64} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 16 z + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$16 z = 2 \cdot z \cdot 8$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{z^{2} - 2 \cdot z \cdot 8 + 8^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = z$ e $b = 8$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ por $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{z}{(z + 8) (z - 8)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{z}{(z + 8) (z - 8)}$ por $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ por $\frac{z + 8}{z + 8}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8}{{(z - 8)}^{2}} \cdot \frac{z + 8}{z + 8} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{8}{{(z - 8)}^{2}}$ por $\frac{z + 8}{z + 8}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{1}{z + 8}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{z + 8}$ por $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - (\frac{1}{z + 8} \cdot \frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}})$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{z + 8}$ por $\frac{{(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2}}$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) (z - 8) (z - 8)} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Etapa 2.7

Eleve $z - 8$ à potência de $1$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} (z - 8))} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Etapa 2.8

Eleve $z - 8$ à potência de $1$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) ({(z - 8)}^{1} {(z - 8)}^{1})} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Etapa 2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{1 + 1}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Etapa 2.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{z (z - 8)}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}} + \frac{8 (z + 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)} - \frac{{(z - 8)}^{2}}{(z + 8) {(z - 8)}^{2}}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{z (z - 8) + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z \cdot z + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot - 8 + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.3

Mova $- 8$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{z^{2} - 8 \cdot z + 8 (z + 8) - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 8 \cdot 8 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.5

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - {(z - 8)}^{2}}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.6

Reescreva ${(z - 8)}^{2}$ como $(z - 8) (z - 8)$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - ((z - 8) (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.7

Expanda $(z - 8) (z - 8)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z (z - 8) - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 (z - 8))}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z \cdot z + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.1.1

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} + z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.8.1.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 \cdot z - 8 z - 8 \cdot - 8)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.8.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 8 z - 8 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.8.2

Subtraia $8 z$ de $- 8 z$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - (z^{2} - 16 z + 64)}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} - (- 16 z) - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 1 \cdot 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$\frac{z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 5

Combine os termos opostos em $z^{2} - 8 z + 8 z + 64 - z^{2} + 16 z - 64$ .

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Etapa 5.1

Some $- 8 z$ e $8 z$ .

$\frac{z^{2} + 0 + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 5.2

Some $z^{2}$ e $0$ .

$\frac{z^{2} + 64 - z^{2} + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 5.3

Subtraia $z^{2}$ de $z^{2}$ .

$\frac{0 + 64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 5.4

Some $0$ e $64$ .

$\frac{64 + 16 z - 64}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 5.5

Subtraia $64$ de $64$ .

$\frac{16 z + 0}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$

Etapa 5.6

Some $16 z$ e $0$ .

$\frac{16 z}{{(z - 8)}^{2} (z + 8)}$