Matemática básica Exemplos

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Etapa 1.2

Fatore $4$ de $4 z - 4$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $4$ de $4 z$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Etapa 1.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Etapa 1.2.3

Fatore $4$ de $4 (z) + 4 (- 1)$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Etapa 1.3

Fatore $z^{2} + 6 z + 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $6$ .

$2, 4$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ por $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ por $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.3

Mova $4$ para a esquerda de $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.6

Expanda $(- 4 z + 4) (z - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.7.1.1

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1.1.1

Mova $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.7.1.1.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.7.1.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.7.2

Some $8 z$ e $4 z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.8

Subtraia $4 z^{2}$ de $z^{2}$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 6.9

Some $4 z$ e $12 z$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- 3 z^{2}$ .

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7.2

Fatore $- 1$ de $16 z$ .

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7.4

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.6.1

Reescreva $- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ como $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ .

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Etapa 7.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$