Matemática básica Exemplos

$\frac{4 r^{2} + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $2 r$ de $4 r^{2} + 10 r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $2 r$ de $4 r^{2}$ .

$\frac{2 r (2 r) + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.1.2

Fatore $2 r$ de $10 r$ .

$\frac{2 r (2 r) + 2 r (5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.1.3

Fatore $2 r$ de $2 r (2 r) + 2 r (5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.2

Fatore $4$ de $4 r - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $4$ de $4 r$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r) - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.2.2

Fatore $4$ de $- 16$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r + 4 \cdot - 4}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.2.3

Fatore $4$ de $4 r + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.3

Reduza a expressão $\frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(r - 4) (r + 5), 1, r + 5$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $r - 4$ é o próprio $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $r + 5$ é o próprio $r + 5$ .

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $r - 4, r + 5, r + 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(r - 4) (r + 5)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ por $(r - 4) (r + 5)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ por $(r - 4) (r + 5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(r - 4) (r + 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 r (2 r + 5) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 r (2 r) + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$2 \cdot 2 r \cdot r + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1.1

Mova $r$ .

$2 \cdot 2 (r \cdot r) + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$2 \cdot 2 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.6

Expanda $(r - 4) (r + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r (r + 5) - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1.1

Multiplique $r$ por $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.7.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 \cdot r - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 r - 4 r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.7.2

Subtraia $4 r$ de $5 r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r - 2 \cdot - 20 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique $- 2$ por $- 20$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 r^{2}$ de $4 r^{2}$ .

$2 r^{2} + 10 r - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $2 r$ de $10 r$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $r + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $r + 5$ de $(r - 4) (r + 5)$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 (r - 4)$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r + 4 \cdot - 4$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r - 16$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $r$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Subtraia $4 r$ dos dois lados da equação.

$2 r^{2} + 8 r + 40 - 4 r = - 16$

Etapa 4.1.2

Subtraia $4 r$ de $8 r$ .

$2 r^{2} + 4 r + 40 = - 16$

Etapa 4.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$2 r^{2} + 4 r + 40 + 16 = 0$

Etapa 4.3

Some $40$ e $16$ .

$2 r^{2} + 4 r + 56 = 0$

Etapa 4.4

Fatore $2$ de $2 r^{2} + 4 r + 56$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 r^{2}$ .

$2 (r^{2}) + 4 r + 56 = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore $2$ de $4 r$ .

$2 (r^{2}) + 2 (2 r) + 56 = 0$

Etapa 4.4.3

Fatore $2$ de $56$ .

$2 r^{2} + 2 (2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Etapa 4.4.4

Fatore $2$ de $2 r^{2} + 2 (2 r)$ .

$2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Etapa 4.4.5

Fatore $2$ de $2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28$ .

$2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$

Etapa 4.5

Divida cada termo em $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Divida cada termo em $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.5.2.1.2

Divida $r^{2} + 2 r + 28$ por $1$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = \frac{0}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = 0$

Etapa 4.6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.7

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 28$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8

Simplifique.

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Etapa 4.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 112}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.3

Subtraia $112$ de $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.4

Reescreva $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.7

Reescreva $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.7.1

Fatore $36$ de $108$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.7.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.1.9

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$r = - 1 \pm 3 i \sqrt{3}$

Etapa 4.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = - 1 + 3 i \sqrt{3}, - 1 - 3 i \sqrt{3}$