Matemática básica Exemplos

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Etapa 2

Reescreva $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ como $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ como $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Etapa 4

Resolva a equação para $n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Etapa 4.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que contêm $n$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ dos dois lados da equação.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Etapa 4.3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Etapa 4.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Etapa 4.3.4

Multiplique $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ por $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Etapa 4.4

Reescreva $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Etapa 4.5

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Etapa 4.6

Simplifique $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $2 (1 + 4^{n})$ por $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Etapa 4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Etapa 4.6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Etapa 4.6.4

Multiplique $2 \cdot 4^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Etapa 4.6.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Etapa 4.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Etapa 4.7

Mova todos os termos que contêm $n$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Subtraia $2^{1 + 2 n}$ dos dois lados da equação.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Expanda $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.2.1

Multiplique $2^{n}$ por $2^{n}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2.1.2

Some $n$ e $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2.2

Multiplique $2^{n}$ por $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2.3

Multiplique $2^{- n}$ por $2^{n}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2.3.2

Some $- n$ e $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2.4

Simplifique $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.7.2.2.5

Multiplique $2^{- n}$ por $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Etapa 4.8

Mova todos os termos que não contêm $n$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.8.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Etapa 4.8.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Etapa 4.9

Reescreva $2^{1 + 2 n}$ como $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Etapa 4.10

Reescreva $2^{2 n}$ como exponenciação.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Etapa 4.11

Reescreva $2^{- n}$ como exponenciação.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Etapa 4.12

Reescreva $2^{2 n}$ como exponenciação.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Etapa 4.13

Remova os parênteses.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Etapa 4.14

Substitua $u$ por $2^{n}$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Etapa 4.15

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.15.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Etapa 4.15.2

Avalie o expoente.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Etapa 4.15.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Etapa 4.16

Subtraia $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Etapa 4.17

Resolva $u$ .

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Etapa 4.17.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 1, u, 1$

Etapa 4.17.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.17.2

Multiplique cada termo em $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.17.2.1

Multiplique cada termo em $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ por $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.17.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.2.2.1.1

Multiplique $u^{2}$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.2.2.1.1.2.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Etapa 4.17.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Etapa 4.17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.2.3.1

Multiplique $u$ por $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Etapa 4.17.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.1

Subtraia $u$ dos dois lados da equação.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Etapa 4.17.3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.2.1

Reordene os termos.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Etapa 4.17.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Etapa 4.17.3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Etapa 4.17.3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.17.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Etapa 4.17.3.4

Defina $- u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.4.1

Defina $- u + 1$ como igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

Etapa 4.17.3.4.2

Resolva $- u + 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- u = - 1$

Etapa 4.17.3.4.2.2

Divida cada termo em $- u = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- u = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.17.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.17.3.4.2.2.2.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.17.3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$u = 1$

Etapa 4.17.3.5

Defina $u^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.5.1

Defina $u^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Etapa 4.17.3.5.2

Resolva $u^{2} + 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u^{2} = - 1$

Etapa 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 4.17.3.5.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \pm i$

Etapa 4.17.3.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.3.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = i$

Etapa 4.17.3.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - i$

Etapa 4.17.3.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = i, - i$

Etapa 4.17.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 1, i, - i$

Etapa 4.18

Substitua $1$ por $u$ em $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Etapa 4.19

Resolva $1 = 2^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.1

Reescreva a equação como $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Etapa 4.19.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Etapa 4.19.3

Expanda $\ln (2^{n})$ movendo $n$ para fora do logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Etapa 4.19.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$n \ln (2) = 0$

Etapa 4.19.5

Divida cada termo em $n \ln (2) = 0$ por $\ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.5.1

Divida cada termo em $n \ln (2) = 0$ por $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Etapa 4.19.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Etapa 4.19.5.2.1.2

Divida $n$ por $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Etapa 4.19.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (2)$ .

$n = 0$

Etapa 4.20

Substitua $i$ por $u$ em $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Etapa 4.21

Resolva $i = 2^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.1

Reescreva a equação como $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Etapa 4.21.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Etapa 4.21.3

Expanda $\ln (2^{n})$ movendo $n$ para fora do logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Etapa 4.21.4

Divida cada termo em $n \ln (2) = \ln (i)$ por $\ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.4.1

Divida cada termo em $n \ln (2) = \ln (i)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Etapa 4.21.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Etapa 4.21.4.2.1.2

Divida $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Etapa 4.22

Substitua $- i$ por $u$ em $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Etapa 4.23

Resolva $- i = 2^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.23.1

Reescreva a equação como $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Etapa 4.23.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Etapa 4.23.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.23.4

Não há uma solução para $2^{n} = - i$

Nenhuma solução

Etapa 4.24

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$