Matemática básica Exemplos

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

Etapa 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Find the dot product.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $9$ por $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

Etapa 2.2.2

Some $- 45$ e $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

Etapa 3.2.3

Some $81$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

Etapa 4.2.3

Some $25$ e $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

Etapa 6.1.2

Multiplique $85$ por $61$ .

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ por $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ por $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sqrt{5185}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{5185}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

Etapa 6.4.6

Reescreva ${\sqrt{5185}}^{2}$ como $5185$ .

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Etapa 6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5185}$ como $5185^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

Etapa 6.4.6.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

Etapa 6.5

Avalie $\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ .

$θ = 117.27676338$