Matemática básica Exemplos

$2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$

Etapa 1

Fatore $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 40, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5, \pm 2.5, \pm 8$

Etapa 1.3

Substitua $- 0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $- 0.5$ no polinômio.

$2 {(- 0.5)}^{4} - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $4$ .

$2 \cdot 0.0625 - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $0.0625$ .

$0.125 - 7 {(- 0.5)}^{3} - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.4

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$0.125 - 7 \cdot - 0.125 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 7$ por $- 0.125$ .

$0.125 + 0.875 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.6

Some $0.125$ e $0.875$ .

$1 - 78 {(- 0.5)}^{2} + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.7

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$1 - 78 \cdot 0.25 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.8

Multiplique $- 78$ por $0.25$ .

$1 - 19.5 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.9

Subtraia $19.5$ de $1$ .

$- 18.5 + 43 \cdot - 0.5 + 40$

Etapa 1.3.10

Multiplique $43$ por $- 0.5$ .

$- 18.5 - 21.5 + 40$

Etapa 1.3.11

Subtraia $21.5$ de $- 18.5$ .

$- 40 + 40$

Etapa 1.3.12

Some $- 40$ e $40$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 q + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40}{2 q + 1}$

Etapa 1.5

Divida $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ por $2 q + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 q^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 q$ .

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 q^{4} + q^{3}$ .

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$q^{3}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 q^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$q^{3}$	-	$4 q^{2}$
$2 q$	+	$1$		$2 q^{4}$	-	$7 q^{3}$	-	$78 q^{2}$	+	$43 q$	+	$40$
			-	$2 q^{4}$	-	$q^{3}$
					-	$8 q^{3}$	-	$78 q^{2}$
					-	$8 q^{3}$	-	$4 q^{2}$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 q^{3} - 4 q^{2}$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 74 q^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 74 q^{2} - 37 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $80 q$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 q$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $80 q + 40$ .

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

$2 q$

$1$

$2 q^{4}$

$7 q^{3}$

$78 q^{2}$

$43 q$

$40$

$2 q^{4}$

$q^{3}$

$8 q^{3}$

$78 q^{2}$

$8 q^{3}$

$4 q^{2}$

$74 q^{2}$

$43 q$

$74 q^{2}$

$37 q$

$80 q$

$40$

$80 q$

$40$

$0$

Etapa 1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$

Etapa 1.6

Escreva $2 q^{4} - 7 q^{3} - 78 q^{2} + 43 q + 40$ como um conjunto de fatores.

$(2 q + 1) (q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40)$

Etapa 2

Fatore $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Etapa 2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 37 \cdot 1 + 40$

Etapa 2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 37 \cdot 1 + 40$

Etapa 2.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 - 37 \cdot 1 + 40$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$1 - 4 - 37 \cdot 1 + 40$

Etapa 2.3.5

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3 - 37 \cdot 1 + 40$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 37$ por $1$ .

$- 3 - 37 + 40$

Etapa 2.3.7

Subtraia $37$ de $- 3$ .

$- 40 + 40$

Etapa 2.3.8

Some $- 40$ e $40$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $q - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40}{q - 1}$

Etapa 2.5

Divida $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ por $q - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$q$

$1$

$q^{3}$

$4 q^{2}$

$37 q$

$40$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $q^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $q$ .

					$q^{2}$
	$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			+	$q^{3}$	-	$q^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $q^{3} - q^{2}$ .

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$q^{2}$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 q^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $q$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					-	$3 q^{2}$	+	$3 q$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 q^{2} + 3 q$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$q^{2}$	-	$3 q$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 40 q$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $q$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							-	$40 q$	+	$40$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 40 q + 40$ .

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							+	$40 q$	-	$40$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$q^{2}$	-	$3 q$	-	$40$
$q$	-	$1$		$q^{3}$	-	$4 q^{2}$	-	$37 q$	+	$40$
			-	$q^{3}$	+	$q^{2}$
					-	$3 q^{2}$	-	$37 q$
					+	$3 q^{2}$	-	$3 q$
							-	$40 q$	+	$40$
							+	$40 q$	-	$40$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$q^{2} - 3 q - 40$

Etapa 2.6

Escreva $q^{3} - 4 q^{2} - 37 q + 40$ como um conjunto de fatores.

$(2 q + 1) ((q - 1) (q^{2} - 3 q - 40))$

Etapa 3

Fatore $q^{2} - 3 q - 40$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $q^{2} - 3 q - 40$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $q^{2} - 3 q - 40$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 40$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 8, 5$

Etapa 3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 q + 1) ((q - 1) ((q - 8) (q + 5)))$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 q + 1) ((q - 1) (q - 8) (q + 5))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 q + 1) (q - 1) (q - 8) (q + 5)$