Matemática básica Exemplos

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

Etapa 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

As etapas para encontrar o MMC de $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $a^{2}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $a + 5, a - 5$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

Os fatores para $a^{2}$ são $a \cdot a$ , que é $a$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.7

O MMC de $a^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$a \cdot a$

Etapa 2.8

Multiplique $a$ por $a$ .

$a^{2}$

Etapa 2.9

O fator de $a + 5$ é o próprio $a + 5$ .

$(a + 5) = a + 5$

$(a + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O fator de $a - 5$ é o próprio $a - 5$ .

$(a - 5) = a - 5$

$(a - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.11

O MMC de $a + 5, a - 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(a + 5) (a - 5)$

Etapa 2.12

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ por $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ por $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $a^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $a^{2}$ de $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(a + 5) (a - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.3

Combine os termos opostos em $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $a \cdot - 5$ e $5 a$ .

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $- 5 a$ e $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.3.3

Some $a \cdot a$ e $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $9$ por $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.7

Cancele o fator comum de $(a + 5) (a - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1

Fatore $(a + 5) (a - 5)$ de $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.2.2

Some $9 a^{2}$ e $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ por $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $a^{2}$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $a^{2}$ por $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Etapa 3.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Etapa 3.3.3.2

Some $2$ e $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

Etapa 3.3.4

Mova $5$ para a esquerda de $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

Etapa 3.3.5

Expanda $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

Etapa 3.3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

Etapa 3.3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.1

Multiplique $a^{3}$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.1.1

Multiplique $a^{3}$ por $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.1.1.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.1.2

Some $3$ e $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.3

Multiplique $a^{2}$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.3.1

Mova $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.3.2

Multiplique $a$ por $a^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.3.2.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

Etapa 3.3.6.1.4

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

Etapa 3.3.6.2

Some $- 5 a^{3}$ e $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

Etapa 3.3.6.3

Some $a^{4}$ e $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $a$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

Etapa 4.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $25 a^{2}$ dos dois lados da equação.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

Etapa 4.2.2

Some $225$ aos dois lados da equação.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $25 a^{2}$ de $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

Etapa 4.4

Substitua $u = a^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

Etapa 4.5

Fatore $u^{2} - 50 u + 225$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $225$ e cuja soma é $- 50$ .

$- 45, - 5$

Etapa 4.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

Etapa 4.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

Etapa 4.7

Defina $u - 45$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Defina $u - 45$ como igual a $0$ .

$u - 45 = 0$

Etapa 4.7.2

Some $45$ aos dois lados da equação.

$u = 45$

Etapa 4.8

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 4.8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 4.9

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 45) (u - 5) = 0$ verdadeiro.

$u = 45, 5$

Etapa 4.10

Substitua o valor real de $u = a^{2}$ de volta na equação resolvida.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

Etapa 4.11

Resolva a primeira equação para $a$ .

$a^{2} = 45$

Etapa 4.12

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

Etapa 4.12.2

Simplifique $\pm \sqrt{45}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.1

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.1.1

Fatore $9$ de $45$ .

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

Etapa 4.12.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Etapa 4.12.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

Etapa 4.12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$a = 3 \sqrt{5}$

Etapa 4.12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$a = - 3 \sqrt{5}$

Etapa 4.12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Etapa 4.13

Resolva a segunda equação para $a$ .

${(a^{2})}^{1} = 5$

Etapa 4.14

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Remova os parênteses.

$a^{2} = 5$

Etapa 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

Etapa 4.14.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$a = \sqrt{5}$

Etapa 4.14.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$a = - \sqrt{5}$

Etapa 4.14.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 4.15

A solução para $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ é $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$