Matemática básica Exemplos

$\frac{r - 2}{r^{2} - 2 r - 8} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $r^{2} - 2 r - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Etapa 1.2

Fatore $r^{2} - 2 r - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(r - 4) (r + 2), r + 2, (r - 4) (r + 2)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $r - 4$ é o próprio $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $r + 2$ é o próprio $r + 2$ .

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $r - 4$ é o próprio $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $r + 2$ é o próprio $r + 2$ .

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $r - 4, r + 2, r + 2, r - 4, r + 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(r - 4) (r + 2)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ por $(r - 4) (r + 2)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ por $(r - 4) (r + 2)$ .

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(r - 4) (r + 2)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $r + 2$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $r + 2$ de $(r - 4) (r + 2)$ .

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r - 2 + (r - 3) (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.3

Expanda $(r - 3) (r - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r - 2 + r (r - 4) - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.4.1.1

Multiplique $r$ por $r$ .

$r - 2 + r^{2} + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $r$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 \cdot r - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 r - 3 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.1.4.2

Subtraia $3 r$ de $- 4 r$ .

$r - 2 + r^{2} - 7 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $7 r$ de $r$ .

$- 6 r - 2 + r^{2} + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.2.2.2

Some $- 2$ e $12$ .

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $(r - 4) (r + 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$- 6 r + r^{2} + 10 = 1$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 6 r + r^{2} + 10 - 1 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$- 6 r + r^{2} + 9 = 0$

Etapa 4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.3.1

Deixe $u = r$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $r$ .

$- 6 u + u^{2} + 9 = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.3.2.1

Reorganize os termos.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Etapa 4.3.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 4.3.2.4

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Etapa 4.3.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r$ .

${(r - 3)}^{2} = 0$

Etapa 4.4

Defina $r - 3$ como igual a $0$ .

$r - 3 = 0$

Etapa 4.5

Some $3$ aos dois lados da equação.

$r = 3$