Matemática básica Exemplos

$\frac{60}{r} + \frac{85}{r + 5} = 10$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$r, r + 5, 1$

Etapa 1.2

Since $r, r + 5, 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

As etapas para encontrar o MMC de $r, r + 5, 1$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $r^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $r + 5$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.6

O fator de $r^{1}$ é o próprio $r$ .

$r^{1} = r$

$r$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O MMC de $r^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$r$

Etapa 1.8

O fator de $r + 5$ é o próprio $r + 5$ .

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.9

O MMC de $r + 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$r + 5$

Etapa 1.10

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$r (r + 5)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{60}{r} + \frac{85}{r + 5} = 10$ por $r (r + 5)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{60}{r} + \frac{85}{r + 5} = 10$ por $r (r + 5)$ .

$\frac{60}{r} (r (r + 5)) + \frac{85}{r + 5} (r (r + 5)) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $r$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{60}{r} (r (r + 5)) + \frac{85}{r + 5} (r (r + 5)) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$60 (r + 5) + \frac{85}{r + 5} (r (r + 5)) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$60 r + 60 \cdot 5 + \frac{85}{r + 5} (r (r + 5)) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $60$ por $5$ .

$60 r + 300 + \frac{85}{r + 5} (r (r + 5)) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.1.4

Cancele o fator comum de $r + 5$ .

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Etapa 2.2.1.4.1

Fatore $r + 5$ de $r (r + 5)$ .

$60 r + 300 + \frac{85}{r + 5} ((r + 5) r) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$60 r + 300 + \frac{85}{r + 5} ((r + 5) r) = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$60 r + 300 + 85 r = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.2.2

Some $60 r$ e $85 r$ .

$145 r + 300 = 10 (r (r + 5))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$145 r + 300 = 10 (r \cdot r + r \cdot 5)$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $r$ por $r$ .

$145 r + 300 = 10 (r^{2} + r \cdot 5)$

Etapa 2.3.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $r$ .

$145 r + 300 = 10 (r^{2} + 5 \cdot r)$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$145 r + 300 = 10 r^{2} + 10 (5 r)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $5$ por $10$ .

$145 r + 300 = 10 r^{2} + 50 r$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Como $r$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$10 r^{2} + 50 r = 145 r + 300$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $r$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $145 r$ dos dois lados da equação.

$10 r^{2} + 50 r - 145 r = 300$

Etapa 3.2.2

Subtraia $145 r$ de $50 r$ .

$10 r^{2} - 95 r = 300$

Etapa 3.3

Subtraia $300$ dos dois lados da equação.

$10 r^{2} - 95 r - 300 = 0$

Etapa 3.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1

Fatore $5$ de $10 r^{2} - 95 r - 300$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $5$ de $10 r^{2}$ .

$5 (2 r^{2}) - 95 r - 300 = 0$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $5$ de $- 95 r$ .

$5 (2 r^{2}) + 5 (- 19 r) - 300 = 0$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $5$ de $- 300$ .

$5 (2 r^{2}) + 5 (- 19 r) + 5 (- 60) = 0$

Etapa 3.4.1.4

Fatore $5$ de $5 (2 r^{2}) + 5 (- 19 r)$ .

$5 (2 r^{2} - 19 r) + 5 (- 60) = 0$

Etapa 3.4.1.5

Fatore $5$ de $5 (2 r^{2} - 19 r) + 5 (- 60)$ .

$5 (2 r^{2} - 19 r - 60) = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.4.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 60 = - 120$ e cuja soma é $b = - 19$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Fatore $- 19$ de $- 19 r$ .

$5 (2 r^{2} - 19 r - 60) = 0$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Reescreva $- 19$ como $5$ mais $- 24$

$5 (2 r^{2} + (5 - 24) r - 60) = 0$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (2 r^{2} + 5 r - 24 r - 60) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.4.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$5 ((2 r^{2} + 5 r) - 24 r - 60) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$5 (r (2 r + 5) - 12 (2 r + 5)) = 0$

Etapa 3.4.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 r + 5$ .

$5 ((2 r + 5) (r - 12)) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$5 (2 r + 5) (r - 12) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 r + 5 = 0$

$r - 12 = 0$

Etapa 3.6

Defina $2 r + 5$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $2 r + 5$ como igual a $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $2 r + 5 = 0$ para $r$ .

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 r = - 5$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $2 r = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 r = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{5}{2}$

Etapa 3.7

Defina $r - 12$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $r - 12$ como igual a $0$ .

$r - 12 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$r = 12$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $5 (2 r + 5) (r - 12) = 0$ verdadeiro.

$r = - \frac{5}{2}, 12$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$r = - \frac{5}{2}, 12$

Forma decimal:

$r = - 2.5, 12$

Forma de número misto:

$r = - 2 \frac{1}{2}, 12$