Matemática básica Exemplos

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $r^{3} = - \frac{1}{27}$ .

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

Etapa 2

Some $\frac{1}{27}$ aos dois lados da equação.

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ como ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Etapa 3.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = r$ e $b = \frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $r$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Etapa 3.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Etapa 3.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Etapa 3.5.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Etapa 5

Defina $r + \frac{1}{3}$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $r + \frac{1}{3}$ como igual a $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$r = - \frac{1}{3}$

Etapa 6

Defina $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ como igual a $0$ .

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $9$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{r}{3}$ para o numerador.

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2.1.2

Fatore $3$ de $9$ .

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2.1.3

Cancele o fator comum.

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2.1.4

Reescreva a expressão.

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 6.2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 6.2.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

Etapa 6.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.3

Substitua os valores $a = 9$ , $b = - 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4

Simplifique.

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Etapa 6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ verdadeiro.

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$