Matemática básica Exemplos

$\frac{5}{p^{2} - 6 p - 7} - \frac{2}{p^{2} - 49} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $p^{2} - 6 p - 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{p^{2} - 49} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Etapa 1.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{p^{2} - 7^{2}} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = p$ e $b = 7$ .

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{p^{2} + 8 p + 7}$

Etapa 1.4

Fatore $p^{2} + 8 p + 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $7$ e cuja soma é $8$ .

$1, 7$

Etapa 1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(p - 7) (p + 1), (p + 7) (p - 7), (p + 1) (p + 7)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $p - 7$ é o próprio $p - 7$ .

$(p - 7) = p - 7$

$(p - 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $p + 1$ é o próprio $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $p + 7$ é o próprio $p + 7$ .

$(p + 7) = p + 7$

$(p + 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $p - 7$ é o próprio $p - 7$ .

$(p - 7) = p - 7$

$(p - 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $p + 1$ é o próprio $p + 1$ .

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O fator de $p + 7$ é o próprio $p + 7$ .

$(p + 7) = p + 7$

$(p + 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.11

O MMC de $p - 7, p + 1, p + 7, p - 7, p + 1, p + 7$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(p - 7) (p + 1) (p + 7)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)}$ por $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)}$ por $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ .

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(p - 7) (p + 1)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{(p - 7) (p + 1)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$5 (p + 7) - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 p + 5 \cdot 7 - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $5$ por $7$ .

$5 p + 35 - \frac{2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $(p - 7) (p + 7)$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{(p + 7) (p - 7)}$ para o numerador.

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p + 7) (p - 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.4.2

Fatore $(p - 7) (p + 7)$ de $(p + 7) (p - 7)$ .

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p - 7) (p + 7) (1)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.4.3

Fatore $(p - 7) (p + 7)$ de $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ .

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p - 7) (p + 7) (1)} ((p - 7) (p + 7) (p + 1)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.4.4

Cancele o fator comum.

$5 p + 35 + \frac{- 2}{(p - 7) (p + 7) \cdot 1} ((p - 7) (p + 7) (p + 1)) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.4.5

Reescreva a expressão.

$5 p + 35 - 2 (p + 1) = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$5 p + 35 - 2 p - 2 \cdot 1 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$5 p + 35 - 2 p - 2 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 p$ de $5 p$ .

$3 p + 35 - 2 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $2$ de $35$ .

$3 p + 33 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p - 7) (p + 1) (p + 7))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $(p + 1) (p + 7)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $(p + 1) (p + 7)$ de $(p - 7) (p + 1) (p + 7)$ .

$3 p + 33 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p + 1) (p + 7) (p - 7))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$3 p + 33 = \frac{4}{(p + 1) (p + 7)} ((p + 1) (p + 7) (p - 7))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$3 p + 33 = 4 (p - 7)$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 p + 33 = 4 p + 4 \cdot - 7$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $- 7$ .

$3 p + 33 = 4 p - 28$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $p$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $4 p$ dos dois lados da equação.

$3 p + 33 - 4 p = - 28$

Etapa 4.1.2

Subtraia $4 p$ de $3 p$ .

$- p + 33 = - 28$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $p$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $33$ dos dois lados da equação.

$- p = - 28 - 33$

Etapa 4.2.2

Subtraia $33$ de $- 28$ .

$- p = - 61$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- p = - 61$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- p = - 61$ por $- 1$ .

$\frac{- p}{- 1} = \frac{- 61}{- 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{p}{1} = \frac{- 61}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2

Divida $p$ por $1$ .

$p = \frac{- 61}{- 1}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Divida $- 61$ por $- 1$ .

$p = 61$