Matemática básica Exemplos

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Etapa 1

Divida cada termo em $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ por $b^{r - p}$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ por $b^{r - p}$ .

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $b^{r - p}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ por $1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Etapa 3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ como $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ .

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln (a^{q - r})$ movendo $q - r$ para fora do logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Etapa 3.3

Expanda $\ln (c^{p - q})$ movendo $p - q$ para fora do logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Etapa 4

Expanda o lado direito.

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Etapa 4.1

Reescreva $\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ como $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Etapa 4.2

Expanda $\ln (b^{r - p})$ movendo $r - p$ para fora do logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Etapa 4.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Etapa 4.4

Subtraia $(r - p) \ln (b)$ de $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Etapa 4.5

Remova os parênteses.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

Simplifique $- (r - p) \ln (b)$ .

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- - p$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $p$ por $1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Etapa 7

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1

Mova $- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Etapa 7.2

Reordene $q \ln (a)$ e $p \ln (c)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Etapa 8

Reordene $- r \ln (b)$ e $p \ln (b)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Etapa 9

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Etapa 10

Mova todos os termos que não contêm $q$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1

Subtraia $p \ln (c)$ dos dois lados da equação.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Etapa 10.2

Some $r \ln (a)$ aos dois lados da equação.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Etapa 10.3

Some $p \ln (b)$ aos dois lados da equação.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Etapa 10.4

Subtraia $r \ln (b)$ dos dois lados da equação.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Etapa 11

Fatore $q$ de $q \ln (a) - q \ln (c)$ .

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Etapa 11.1

Fatore $q$ de $q \ln (a)$ .

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Etapa 11.2

Fatore $q$ de $- q \ln (c)$ .

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Etapa 11.3

Fatore $q$ de $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ .

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Etapa 12

Reescreva $- 1 \ln (c)$ como $- \ln (c)$ .

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Etapa 13

Divida cada termo em $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ por $\ln (a) - \ln (c)$ e simplifique.

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Etapa 13.1

Divida cada termo em $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ por $\ln (a) - \ln (c)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (a) - \ln (c)$ .

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Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 13.2.1.2

Divida $q$ por $1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 13.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- p \ln (c)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.5

Fatore $- 1$ de $r \ln (a)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.7

Fatore $- 1$ de $p \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.8

Fatore $- 1$ de $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.9

Fatore $- 1$ de $- r \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.10

Fatore $- 1$ de $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.3.2.11.1

Reescreva $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ como $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ .

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Etapa 13.3.2.11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$