Matemática básica Exemplos

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1.3

Para escrever $\frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $45$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{5 \cdot 9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$\frac{9}{45} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 + 1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 1.6

Some $9$ e $1$ .

$\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$45, (4 n - 3) \cdot (4 n + 1), 4 n + 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

Os fatores primos de $45$ são $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Etapa 2.3.1

$45$ tem fatores de $3$ e $15$ .

$3 \cdot 15$

Etapa 2.3.2

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $45, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Etapa 2.6

Multiplique $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Etapa 2.6.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 \cdot 5$

Etapa 2.6.2

Multiplique $9$ por $5$ .

$45$

Etapa 2.7

O fator de $4 n - 3$ é o próprio $4 n - 3$ .

$(4 n - 3) = 4 n - 3$

$(4 n - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $4 n + 1$ é o próprio $4 n + 1$ .

$(4 n + 1) = 4 n + 1$

$(4 n + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $4 n - 3, 4 n + 1, 4 n + 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(4 n - 3) (4 n + 1)$

Etapa 2.10

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$45 (4 n - 3) (4 n + 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ por $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ por $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $45$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $45$ de $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$10 ((4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(4 n - 3) (4 n + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (4 n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10 (4 \cdot 4 n \cdot n + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Mova $n$ .

$10 (4 \cdot 4 (n \cdot n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$10 (4 \cdot 4 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.3.2

Subtraia $12 n$ de $4 n$ .

$10 (16 n^{2} - 8 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (16 n^{2}) + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $16$ por $10$ .

$160 n^{2} + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $- 8$ por $10$ .

$160 n^{2} - 80 n + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.5.3

Multiplique $10$ por $- 3$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.7

Combine $45$ e $\frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.8

Cancele o fator comum de $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

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Etapa 3.2.1.8.1

Cancele o fator comum.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.1.8.2

Reescreva a expressão.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.2.2

Some $- 30$ e $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \frac{n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.3.1.2

Combine $45$ e $\frac{n}{4 n + 1}$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Etapa 3.3.1.3

Cancele o fator comum de $4 n + 1$ .

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Etapa 3.3.1.3.1

Fatore $4 n + 1$ de $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Etapa 3.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Etapa 3.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n - 3)$

Etapa 3.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n) + 45 n \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n + 45 n \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n - 135 n$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Mova $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 (n \cdot n) - 135 n$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n^{2} - 135 n$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $45$ por $4$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 180 n^{2} - 135 n$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $n$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $180 n^{2}$ dos dois lados da equação.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} = - 135 n$

Etapa 4.1.2

Some $135 n$ aos dois lados da equação.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} + 135 n = 0$

Etapa 4.1.3

Subtraia $180 n^{2}$ de $160 n^{2}$ .

$- 20 n^{2} - 80 n + 15 + 135 n = 0$

Etapa 4.1.4

Some $- 80 n$ e $135 n$ .

$- 20 n^{2} + 55 n + 15 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $- 5$ de $- 20 n^{2} + 55 n + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 20 n^{2}$ .

$- 5 (4 n^{2}) + 55 n + 15 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Fatore $- 5$ de $55 n$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) + 15 = 0$

Etapa 4.2.1.3

Fatore $- 5$ de $15$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.2.1.4

Fatore $- 5$ de $- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.2.1.5

Fatore $- 5$ de $- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 (- 3)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e cuja soma é $b = - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 n$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Reescreva $- 11$ como $1$ mais $- 12$

$- 5 (4 n^{2} + (1 - 12) n - 3) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 (4 n^{2} + 1 n - 12 n - 3) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Multiplique $n$ por $1$ .

$- 5 (4 n^{2} + n - 12 n - 3) = 0$

Etapa 4.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 5 ((4 n^{2} + n) - 12 n - 3) = 0$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 5 (n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) = 0$

Etapa 4.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 n + 1$ .

$- 5 ((4 n + 1) (n - 3)) = 0$

Etapa 4.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Etapa 4.4

Defina $4 n + 1$ como igual a $0$ e resolva para $n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Defina $4 n + 1$ como igual a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $4 n + 1 = 0$ para $n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 n = - 1$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $4 n = - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $4 n = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.4.2.2.2.1.2

Divida $n$ por $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$n = - \frac{1}{4}$

Etapa 4.5

Defina $n - 3$ como igual a $0$ e resolva para $n$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $n - 3$ como igual a $0$ .

$n - 3 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$n = 3$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$ verdadeiro.

$n = - \frac{1}{4}, 3$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ verdadeira.

$n = 3$