Matemática básica Exemplos

$\sqrt{7 y^{2} + 27 y} = \sqrt{3 y^{2} + 40}$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{7 y^{2} + 27 y}}^{2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 y^{2} + 27 y}$ como ${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(7 y^{2} + 27 y)}^{1} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$7 y^{2} + 27 y = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva ${\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$ como $3 y^{2} + 40$ .

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Etapa 2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 y^{2} + 40}$ como ${(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 y^{2} + 27 y = {({(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{1}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique.

$7 y^{2} + 27 y = 3 y^{2} + 40$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $3 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$7 y^{2} + 27 y - 3 y^{2} = 40$

Etapa 3.1.2

Subtraia $3 y^{2}$ de $7 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 27 y = 40$

Etapa 3.2

Subtraia $40$ dos dois lados da equação.

$4 y^{2} + 27 y - 40 = 0$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 40 = - 160$ e cuja soma é $b = 27$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $27$ de $27 y$ .

$4 y^{2} + 27 (y) - 40 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $27$ como $- 5$ mais $32$

$4 y^{2} + (- 5 + 32) y - 40 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 5 y + 32 y - 40 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 y^{2} - 5 y) + 32 y - 40 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y (4 y - 5) + 8 (4 y - 5) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 y - 5$ .

$(4 y - 5) (y + 8) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 y - 5 = 0$

$y + 8 = 0$

Etapa 3.5

Defina $4 y - 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $4 y - 5$ como igual a $0$ .

$4 y - 5 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $4 y - 5 = 0$ para $y$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$4 y = 5$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $4 y = 5$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 y = 5$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5}{4}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5}{4}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{4}$

Etapa 3.6

Defina $y + 8$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $y + 8$ como igual a $0$ .

$y + 8 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$y = - 8$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(4 y - 5) (y + 8) = 0$ verdadeiro.

$y = \frac{5}{4}, - 8$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = \frac{5}{4}, - 8$

Forma decimal:

$y = 1.25, - 8$

Forma de número misto:

$y = 1 \frac{1}{4}, - 8$