Matemática básica Exemplos

$y^{3} - 9 \cdot y^{2} + 23 \cdot y - 15 = 0$

Etapa 1

Multiplique $23$ por $y$ .

$y^{3} - 9 y^{2} + 23 y - 15 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $y^{3} - 9 y^{2} + 23 y - 15$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Etapa 2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 15$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 15$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 15$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$1 - 9 + 23 \cdot 1 - 15$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $9$ de $1$ .

$- 8 + 23 \cdot 1 - 15$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $23$ por $1$ .

$- 8 + 23 - 15$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 8$ e $23$ .

$15 - 15$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $15$ de $15$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $y - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{y^{3} - 9 y^{2} + 23 y - 15}{y - 1}$

Etapa 2.1.5

Divida $y^{3} - 9 y^{2} + 23 y - 15$ por $y - 1$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$23 y$

$15$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			+	$y^{3}$	-	$y^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{3} - y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$8 y$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	-	$8 y$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					-	$8 y^{2}$	+	$8 y$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 y^{2} + 8 y$ .

				$y^{2}$	-	$8 y$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	-	$8 y$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$
							+	$15 y$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$	-	$8 y$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$
							+	$15 y$	-	$15$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $15 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	-	$8 y$	+	$15$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$
							+	$15 y$	-	$15$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	-	$8 y$	+	$15$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$
							+	$15 y$	-	$15$
							+	$15 y$	-	$15$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $15 y - 15$ .

				$y^{2}$	-	$8 y$	+	$15$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$
							+	$15 y$	-	$15$
							-	$15 y$	+	$15$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	-	$8 y$	+	$15$
$y$	-	$1$		$y^{3}$	-	$9 y^{2}$	+	$23 y$	-	$15$
			-	$y^{3}$	+	$y^{2}$
					-	$8 y^{2}$	+	$23 y$
					+	$8 y^{2}$	-	$8 y$
							+	$15 y$	-	$15$
							-	$15 y$	+	$15$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$y^{2} - 8 y + 15$

Etapa 2.1.6

Escreva $y^{3} - 9 y^{2} + 23 y - 15$ como um conjunto de fatores.

$(y - 1) (y^{2} - 8 y + 15) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $y^{2} - 8 y + 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Fatore $y^{2} - 8 y + 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 5, - 3$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y - 1) ((y - 5) (y - 3)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y - 1) (y - 5) (y - 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$y - 5 = 0$

$y - 3 = 0$

Etapa 4

Defina $y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.1

Defina $y - 1$ como igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

Etapa 5

Defina $y - 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $y - 5$ como igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Etapa 5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = 5$

Etapa 6

Defina $y - 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 6.1

Defina $y - 3$ como igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 3$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 1) (y - 5) (y - 3) = 0$ verdadeiro.

$y = 1, 5, 3$