Matemática básica Exemplos

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

Etapa 1

Calcule a regra de três.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique $1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Multiplique $\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ por $1$ .

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Etapa 1.2.1.2

Some $6^{y}$ e $6^{y}$ .

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Etapa 1.2.1.3

Some $2 \cdot 6^{y}$ e $6^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique $\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Some $3^{y}$ e $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

Etapa 1.3.1.2

Some $2 \cdot 3^{y}$ e $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Etapa 1.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

Etapa 1.3.1.4

Mova $64$ para a esquerda de $\sqrt{3^{1 + y}}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ como ${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $64 \sqrt{3^{1 + y}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Eleve $64$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ como $3^{1 + y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3^{1 + y}}$ como $3^{\frac{1 + y}{2}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.2.3

Combine $\frac{1 + y}{2}$ e $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4.2

Divida $1 + y$ por $1$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Etapa 4.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva $\ln (3 \cdot 6^{y})$ como $\ln (3) + \ln (6^{y})$ .

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Etapa 4.2.2

Expanda $\ln (6^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Etapa 4.3

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva $\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ como $\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

Etapa 4.3.2

Expanda $\ln (3^{1 + y})$ movendo $1 + y$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

Etapa 4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Simplifique $\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

Etapa 4.4.1.1.2

Multiplique $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

Etapa 4.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

Etapa 4.4.1.3

Multiplique $4096$ por $3$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Etapa 4.5

Reordene $\ln (3)$ e $y \ln (6)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Etapa 4.6

Reordene $\ln (12288)$ e $y \ln (3)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

Etapa 4.7

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

Etapa 4.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

Etapa 4.9

Cancele o fator comum de $3$ e $12288$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

Etapa 4.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Fatore $3$ de $12288$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Etapa 4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Etapa 4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

Etapa 4.10

Subtraia $\ln (\frac{1}{4096})$ dos dois lados da equação.

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Etapa 4.11

Fatore $y$ de $y \ln (6) - y \ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Fatore $y$ de $y \ln (6)$ .

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Etapa 4.11.2

Fatore $y$ de $- y \ln (3)$ .

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Etapa 4.11.3

Fatore $y$ de $y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ .

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Etapa 4.12

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Etapa 4.13

Divida cada termo em $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ por $\ln (6) - \ln (3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.1

Divida cada termo em $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ por $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Etapa 4.13.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (6) - \ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Etapa 4.13.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Etapa 4.13.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$y = 12$