Matemática básica Exemplos

$\frac{10 a + 8 - 3 a^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Reordene os termos.

$\frac{- 3 a^{2} + 10 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 8 = - 24$ e cuja soma é $b = 10$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $10$ de $10 a$ .

$\frac{- 3 a^{2} + 10 (a) + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $10$ como $- 2$ mais $12$

$\frac{- 3 a^{2} + (- 2 + 12) a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 a^{2} - 2 a + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 a^{2} - 2 a) + 12 a + 8}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{a (- 3 a - 2) - 4 (- 3 a - 2)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 a - 2$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 2

Fatore $a^{2} - a - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a^{3} - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Fatore $9 a$ de $9 a^{3} - 81 a$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $9 a$ de $9 a^{3}$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) - 81 a}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 3.1.2

Fatore $9 a$ de $- 81 a$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 3.1.3

Fatore $9 a$ de $9 a (a^{2}) + 9 a (- 9)$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 9)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a^{2} - 3^{2})}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 3$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 a - 6}$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 a$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} - 7 (a) - 6}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $- 7$ como $2$ mais $- 9$

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + (2 - 9) a - 6}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{3 a^{2} + 2 a - 9 a - 6}$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a^{2} + 2 a) - 9 a - 6}$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{a (3 a + 2) - 3 (3 a + 2)}$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 a + 2$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $a + 3$ .

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Etapa 5.1

Fatore $a + 3$ de $(a - 4) (a + 3)$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{9 a (a + 3) (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 5.2

Fatore $a + 3$ de $9 a (a + 3) (a - 3)$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{(a + 3) (a - 4)} \cdot \frac{(a + 3) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4} \cdot \frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{(- 3 a - 2) (a - 4)}{a - 4}$ por $\frac{9 a (a - 3)}{(3 a + 2) (a - 3)}$ .

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $a - 4$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 3 a - 2) (a - 4) (9 a (a - 3))}{(a - 4) ((3 a + 2) (a - 3))}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $a - 3$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a (a - 3))}{(3 a + 2) (a - 3)}$

Etapa 8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 3 a - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $- 3 a - 2$ e $3 a + 2$ .

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Etapa 9.1

Fatore $- 1$ de $- 3 a$ .

$\frac{(- (3 a) - 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Etapa 9.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (3 a) - 1 (2)) (9 a)}{3 a + 2}$

Etapa 9.3

Fatore $- 1$ de $- (3 a) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Etapa 9.4

Reescreva $- (3 a + 2)$ como $- 1 (3 a + 2)$ .

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (3 a + 2) (9 a)}{3 a + 2}$

Etapa 9.6

Divida $- 1 (9 a)$ por $1$ .

$- 1 (9 a)$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Reescreva $- 1 (9 a)$ como $- (9 a)$ .

$- (9 a)$

Etapa 10.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 9 a$