Matemática básica Exemplos

$({(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}) = \frac{125}{27}$

Etapa 1

Simplifique ${(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3^{z}}{5^{z}} {(\frac{5}{3})}^{2 z} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$\frac{3^{z}}{5^{z}} \cdot \frac{5^{2 z}}{3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.2

Combine.

$\frac{3^{z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $3^{z}$ e $3^{2 z}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $3^{2 z}$ de $3^{z} \cdot 5^{2 z}$ .

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $3^{2 z}$ de $5^{z} \cdot 3^{2 z}$ .

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $5^{2 z}$ e $5^{z}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $5^{z}$ de $3^{- z} \cdot 5^{2 z}$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{z}}{1} = \frac{125}{27}$

Etapa 1.4.2.4

Divida $3^{- z} \cdot 5^{z}$ por $1$ .

$3^{- z} \cdot 5^{z} = \frac{125}{27}$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{- z} \cdot 5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $\ln (3^{- z} \cdot 5^{z})$ como $\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z})$ .

$\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln (3^{- z})$ movendo $- z$ para fora do logaritmo.

$- z \ln (3) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 3.3

Expanda $\ln (5^{z})$ movendo $z$ para fora do logaritmo.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- z \ln (3) + z \ln (5) - \ln (\frac{125}{27}) = 0$

Etapa 5

Some $\ln (\frac{125}{27})$ aos dois lados da equação.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 6

Fatore $z$ de $- z \ln (3) + z \ln (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $z$ de $- z \ln (3)$ .

$z (- 1 \ln (3)) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 6.2

Fatore $z$ de $z \ln (5)$ .

$z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 6.3

Fatore $z$ de $z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5))$ .

$z (- 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 7

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Etapa 8

Divida cada termo em $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (3) + \ln (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $z$ por $1$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Etapa 8.3.2

Fatore $- 1$ de $\ln (5)$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) - 1 (- \ln (5))}$

Etapa 8.3.3

Fatore $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- \ln (5))$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- (\ln (3) - \ln (5))}$

Etapa 8.3.4

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Reescreva $- (\ln (3) - \ln (5))$ como $- 1 (\ln (3) - \ln (5))$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- 1 (\ln (3) - \ln (5))}$

Etapa 8.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$z = 3$