Matemática básica Exemplos

$\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 11 y - 21} \div \frac{2 y^{2} + y - 3}{y^{2} + 6 y - 7}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{{(2 y)}^{2} - 9}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 y$ e $b = 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $11$ de $11 y$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 11 (y) - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $11$ como $- 3$ mais $14$

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + (- 3 + 14) y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} - 3 y + 14 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y^{2} - 3 y) + 14 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{y (2 y - 3) + 7 (2 y - 3)} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y - 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 7)} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $2 y - 3$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 7)} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 5

Fatore $y^{2} + 6 y - 7$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $6$ .

$- 1, 7$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} + y - 3}$

Etapa 6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 6.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} + 1 y - 3}$

Etapa 6.1.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} + (- 2 + 3) y - 3}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} - 2 y + 3 y - 3}$

Etapa 6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(2 y^{2} - 2 y) + 3 y - 3}$

Etapa 6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y (y - 1) + 3 (y - 1)}$

Etapa 6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y - 1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(y - 1) (2 y + 3)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $2 y + 3$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2 y + 3$ de $(y - 1) (2 y + 3)$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{y - 1}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $y + 7$ .

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Etapa 8.1

Fatore $y + 7$ de $(y - 1) (y + 7)$ .

$\frac{1}{y + 7} \cdot \frac{(y + 7) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 7} \cdot \frac{(y + 7) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão.

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