Matemática básica Exemplos

$(\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}) (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (\frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n})$

Etapa 1

Multiplique $\frac{2 m n}{{(m - n)}^{2}}$ por $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{m}{n}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{n}{m}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $n m$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{m}{n}$ por $\frac{m}{m}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{n}{m}$ por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $n m$ .

$\frac{2 m n (\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 m n \frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Eleve $m$ à potência de $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.5.2

Eleve $m$ à potência de $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 m n \frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n \cdot n}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.5.5

Reescreva $n \cdot n$ como $n^{2}$ .

$\frac{2 m n \frac{m^{2} - n^{2}}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.5.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{2 m n \frac{(m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.6

Combine expoentes.

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Etapa 2.6.1

Combine $2$ e $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ .

$\frac{m n \frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.6.2

Combine $m$ e $\frac{2 ((m + n) (m - n))}{m n}$ .

$\frac{n \frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.6.3

Combine $n$ e $\frac{m (2 ((m + n) (m - n)))}{m n}$ .

$\frac{\frac{n (m (2 ((m + n) (m - n))))}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.7

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.8

Reduza a expressão $\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{n m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m n}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(m \cdot 2 (m + n)) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $m$ .

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Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{m \cdot 2 (m + n) (m - n)}{m}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.9.2

Divida $(2 (m + n)) (m - n)$ por $1$ .

$\frac{(2 (m + n)) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 m + 2 n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.11

Expanda $(2 m + 2 n) (m - n)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 m (m - n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 m \cdot m + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.12.1.1

Multiplique $m$ por $m$ somando os expoentes.

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Etapa 2.12.1.1.1

Mova $m$ .

$\frac{2 (m \cdot m) + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.1.2

Multiplique $m$ por $m$ .

$\frac{2 m^{2} + 2 m (- n) + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 m^{2} + 2 \cdot - 1 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 n (- n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n \cdot n}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.5

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

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Etapa 2.12.1.5.1

Mova $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 (n \cdot n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.5.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m + 2 \cdot - 1 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 n m - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.2

Some $- 2 m n$ e $2 n m$ .

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Etapa 2.12.2.1

Mova $n$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 m n + 2 m n - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.2.2

Some $- 2 m n$ e $2 m n$ .

$\frac{2 m^{2} + 0 - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.12.3

Some $2 m^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 m^{2} - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.13

Fatore $2$ de $2 m^{2} - 2 n^{2}$ .

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Etapa 2.13.1

Fatore $2$ de $2 m^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) - 2 n^{2}}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.13.2

Fatore $2$ de $- 2 n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.13.3

Fatore $2$ de $2 (m^{2}) + 2 (- n^{2})$ .

$\frac{2 (m^{2} - n^{2})}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 2.14

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = m$ e $b = n$ .

$\frac{2 (m + n) (m - n)}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $m + n$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $m + n$ de $2 (m + n) (m - n)$ .

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(m + n) (2 (m - n))}{{(m - n)}^{2}} \cdot \frac{m^{2} + m n + n^{2}}{m + n}$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (m - n)}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $m - n$ e ${(m - n)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $m - n$ de $2 (m - n)$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{{(m - n)}^{2}} (m^{2} + m n + n^{2})$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $m - n$ de ${(m - n)}^{2}$ .

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(m - n) \cdot 2}{(m - n) (m - n)} (m^{2} + m n + n^{2})$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{m - n} (m^{2} + m n + n^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{2}{m - n}$ por $m^{2} + m n + n^{2}$ .

$\frac{2 (m^{2} + m n + n^{2})}{m - n}$