Matemática básica Exemplos

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 y + 1}$ como ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ como $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ .

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{7 y}$ à potência de $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.3

Eleve $\sqrt{7 y}$ à potência de $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{7 y}}^{2}$ como $7 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 y}$ como ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.2.5

Simplifique.

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $7$ por $4$ .

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

Etapa 2.3.1.3.2

Subtraia $2 \sqrt{7 y}$ de $- 2 \sqrt{7 y}$ .

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

Etapa 3

Resolva $- 4 \sqrt{7 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ .

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $- 4 \sqrt{7 y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $28 y$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

Etapa 3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

Etapa 3.2.3

Combine os termos opostos em $16 y + 1 - 28 y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

Etapa 3.2.3.2

Some $16 y - 28 y$ e $0$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

Etapa 3.2.4

Subtraia $28 y$ de $16 y$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 y}$ como ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $7 y$ .

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Avalie o expoente.

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $16$ por $7$ .

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.2.1

Cancele o fator comum.

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.7.2.2

Reescreva a expressão.

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.2.1.8

Simplifique.

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique ${(- 12 y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- 12 y$ .

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$112 y = 144 y^{2}$

Etapa 6

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Subtraia $144 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$112 y - 144 y^{2} = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$112 u - 144 u^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $16 u$ de $112 u - 144 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $16 u$ de $112 u$ .

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.2

Fatore $16 u$ de $- 144 u^{2}$ .

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

Etapa 6.2.2.3

Fatore $16 u$ de $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ .

$16 u (7 - 9 u) = 0$

Etapa 6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$16 y (7 - 9 y) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

Etapa 6.4

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 6.5

Defina $7 - 9 y$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $7 - 9 y$ como igual a $0$ .

$7 - 9 y = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $7 - 9 y = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- 9 y = - 7$

Etapa 6.5.2.2

Divida cada termo em $- 9 y = - 7$ por $- 9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 9 y = - 7$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Etapa 6.5.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 9}$

Etapa 6.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{7}{9}$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $16 y (7 - 9 y) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, \frac{7}{9}$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ verdadeira.

$y = \frac{7}{9}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = \frac{7}{9}$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{7}$