Matemática básica Exemplos

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique $- \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(y - 9)}^{2}$ como $(y - 9) (y - 9)$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot ((y - 9) (y - 9))$

Etapa 1.2

Expanda $(y - 9) (y - 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y (y - 9) - 9 (y - 9))$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 (y - 9))$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 \cdot y - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 y - 9 y + 81)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $9 y$ de $- 9 y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 18 y + 81)$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{2}{3} y^{2} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $3$ de $- 18 y$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.2.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.2.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - 2 (- 6 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - \frac{2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot 81$

Etapa 1.5.4.2

Fatore $3$ de $81$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (27))$

Etapa 1.5.4.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 27)$

Etapa 1.5.4.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 2 \cdot 27$

Etapa 1.5.5

Multiplique $- 2$ por $27$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 54$

Etapa 1.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$y = - \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54$

Etapa 2

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 = y$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 - y = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $y$ de $12 y$ .

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 11 y - 54 = 0$

Etapa 4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $3$ . Depois, simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- \frac{2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 y^{2}}{3}$ para o numerador.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 y^{2} + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Etapa 4.2.2

Multiplique $11$ por $3$ .

$- 2 y^{2} + 33 y + 3 \cdot - 54 = 0$

Etapa 4.2.3

Multiplique $3$ por $- 54$ .

$- 2 y^{2} + 33 y - 162 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - 2$ , $b = 33$ e $c = - 162$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 162)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $33$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 4 \cdot - 2 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot - 162$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 + 8 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $8$ por $- 162$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 1296}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $1296$ de $1089$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $- 207$ como $- 1 (207)$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (207)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.7

Reescreva $207$ como $3^{2} \cdot 23$ .

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Etapa 7.1.7.1

Fatore $9$ de $207$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$ .

$y = \frac{33 \pm 3 i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{33 + 3 i \sqrt{23}}{4}, \frac{33 - 3 i \sqrt{23}}{4}$