Matemática básica Exemplos

$8 y^{3} + 125 = 0$

Etapa 1

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$8 y^{3} = - 125$

Etapa 2

Some $125$ aos dois lados da equação.

$8 y^{3} + 125 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $8 y^{3}$ como ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} + 125 = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

${(2 y)}^{3} + 5^{3} = 0$

Etapa 3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 2 y$ e $b = 5$ .

$(2 y + 5) ({(2 y)}^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

$(2 y + 5) (2^{2} y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.4.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 5^{2}) = 0$

Etapa 3.4.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Etapa 5

Defina $2 y + 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 y + 5$ como igual a $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 y + 5 = 0$ para $y$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 y = - 5$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 y = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 y = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5}{2}$

Etapa 6

Defina $4 y^{2} - 10 y + 25$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $4 y^{2} - 10 y + 25$ como igual a $0$ .

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$ para $y$ .

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Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 10$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 25)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.3.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 25$ .

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Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $25$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $400$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $- 300$ como $- 1 (300)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (300)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.7

Reescreva $300$ como $10^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.2.3.1.7.1

Fatore $100$ de $300$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.7.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.9

Mova $10$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique $\frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$ verdadeiro.

$y = - \frac{5}{2}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$