Matemática básica Exemplos

$3 \cdot 3^{2 y} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Etapa 1

Reescreva $3^{2 y}$ como exponenciação.

$3 \cdot {(3^{y})}^{2} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Etapa 2

Substitua $u$ por $3^{y}$ .

$3 \cdot u^{2} - 4 \cdot u = - 1$

Etapa 3

Multiplique $- 4$ por $u$ .

$3 u^{2} - 4 u = - 1$

Etapa 4

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 4.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 1$ mais $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Etapa 4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 4.4

Defina $3 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Defina $3 u - 1$ como igual a $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $3 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 u = 1$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $3 u = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = 1$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 4.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Etapa 4.5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{3}, 1$

Etapa 5

Substitua $\frac{1}{3}$ por $u$ em $u = 3^{y}$ .

$\frac{1}{3} = 3^{y}$

Etapa 6

Resolva $\frac{1}{3} = 3^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $3^{y} = \frac{1}{3}$ .

$3^{y} = \frac{1}{3}$

Etapa 6.2

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{3^{1}}$

Etapa 6.3

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{y} = 3^{- 1}$

Etapa 6.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$y = - 1$

Etapa 7

Substitua $1$ por $u$ em $u = 3^{y}$ .

$1 = 3^{y}$

Etapa 8

Resolva $1 = 3^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva a equação como $3^{y} = 1$ .

$3^{y} = 1$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{y}) = \ln (1)$

Etapa 8.3

Expanda $\ln (3^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$y \ln (3) = 0$

Etapa 8.5

Divida cada termo em $y \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Divida cada termo em $y \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 8.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 8.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 8.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (3)$ .

$y = 0$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$y = - 1, 0$