Matemática básica Exemplos

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y = 7$

Etapa 1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y - 7 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 10$ e $c = x^{2} + 4 x - 7$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x + 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Some $100$ e $28$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.2

Fatore $4$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.3

Fatore $4$ de $128$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 4.1.6.2.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.2

Reescreva $- 4$ como $4$ mais $- 8$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.1.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x + 4) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $4 (- x + 4) (x + 8)$ como $2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))$ .

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Etapa 4.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 5 + \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

$y = 5 - \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$