Matemática básica Exemplos

$z^{- 4} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 \frac{1}{z^{2}} - 4 = 0$

Etapa 1.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} + \frac{- 3}{z^{2}} - 4 = 0$

Etapa 1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$z^{4}, z^{2}, 1, 1$

Etapa 2.2

Since $z^{4}, z^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $z^{4}, z^{2}$ .

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

Os fatores para $z^{4}$ são $z \cdot z \cdot z \cdot z$ , que é $z$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$z^{4} = z \cdot z \cdot z \cdot z$

$z$ ocorre $4$ vezes.

Etapa 2.7

Os fatores para $z^{2}$ são $z \cdot z$ , que é $z$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$z^{2} = z \cdot z$

$z$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.8

O MMC de $z^{4}, z^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$z \cdot z \cdot z \cdot z$

Etapa 2.9

Simplifique $z \cdot z \cdot z \cdot z$ .

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Etapa 2.9.1

Multiplique $z$ por $z$ .

$z^{2} \cdot z \cdot z$

Etapa 2.9.2

Multiplique $z^{2}$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.2.1

Multiplique $z^{2}$ por $z$ .

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Etapa 2.9.2.1.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$z^{2} \cdot z^{1} \cdot z$

Etapa 2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z^{2 + 1} \cdot z$

Etapa 2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$z^{3} \cdot z$

Etapa 2.9.3

Multiplique $z^{3}$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.3.1

Multiplique $z^{3}$ por $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$z^{3} \cdot z^{1}$

Etapa 2.9.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z^{3 + 1}$

Etapa 2.9.3.2

Some $3$ e $1$ .

$z^{4}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ por $z^{4}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ por $z^{4}$ .

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $z^{4}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $z^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{z^{2}}$ para o numerador.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore $z^{2}$ de $z^{4}$ .

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $0$ por $z^{4}$ .

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Substitua $u = z^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = z^{2}$

Etapa 4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Fatore $- 1$ de $- 4 u^{2} - 3 u + 1$ .

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Etapa 4.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 3 u + 1 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- 3 u$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) + 1 = 0$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (4 u^{2} + 3 u) - 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$- (4 u^{2} + 3 (u) - 1) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$- (4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1) = 0$

Etapa 4.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1) = 0$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1)) = 0$

Etapa 4.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (u + 1)) = 0$

Etapa 4.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (4 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 4.4

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $4 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 u = 1$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Etapa 4.5

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (4 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Etapa 4.7

Substitua o valor real de $u = z^{2}$ de volta na equação resolvida.

$z^{2} = \frac{1}{4}$

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Etapa 4.8

Resolva a primeira equação para $z$ .

$z^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.9

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 4.9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.9.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.9.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.9.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.9.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$z = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 4.9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \frac{1}{2}$

Etapa 4.9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 4.10

Resolva a segunda equação para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Etapa 4.11

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 4.11.1

Remova os parênteses.

$z^{2} = - 1$

Etapa 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 4.11.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i$

Etapa 4.11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = i$

Etapa 4.11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - i$

Etapa 4.11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = i, - i$

Etapa 4.12

A solução para $- 4 z^{4} - 3 z^{2} + 1 = 0$ é $z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$