Matemática básica Exemplos

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use o teorema binomial.

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.7

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.2.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Etapa 1.3

Use o teorema binomial.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.6

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.7

Aplique a regra do produto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.9

Multiplique $z^{2}$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.11

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.12

Aplique a regra do produto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.13

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.14

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.15

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.16

Aplique a regra do produto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.17

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.18

Multiplique $z^{4}$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Etapa 1.4.19

Aplique a regra do produto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

Etapa 1.4.20

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Etapa 1.6.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Etapa 1.6.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Etapa 1.6.4

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Etapa 1.6.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.6.6

Multiplique $- - z^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

Etapa 1.6.6.2

Multiplique $z^{5}$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.7

Subtraia $1$ de $1$ .

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.8

Some $5 z$ e $0$ .

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.9

Subtraia $10 z^{2}$ de $10 z^{2}$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.10

Some $10 z^{3}$ e $0$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.11

Some $10 z^{3}$ e $10 z^{3}$ .

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Etapa 1.12

Subtraia $5 z^{4}$ de $5 z^{4}$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

Etapa 1.13

Some $20 z^{3}$ e $0$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

Etapa 1.14

Some $z^{5}$ e $z^{5}$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

Etapa 1.15

Some $5 z$ e $5 z$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

Etapa 1.16

Reordene os termos.

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Etapa 1.17

Fatore $2 z$ de $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.17.1

Fatore $2 z$ de $2 z^{5}$ .

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Etapa 1.17.2

Fatore $2 z$ de $20 z^{3}$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

Etapa 1.17.3

Fatore $2 z$ de $10 z$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Etapa 1.17.4

Fatore $2 z$ de $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Etapa 1.17.5

Fatore $2 z$ de $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Etapa 3

Defina $z$ como igual a $0$ .

$z = 0$

Etapa 4

Defina $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 4.1

Defina $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ para $z$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $u = z^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

Etapa 4.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 10$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

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Etapa 4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.3

Subtraia $20$ de $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.4

Reescreva $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.4.1

Fatore $16$ de $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

Etapa 4.2.6

Substitua o valor real de $u = z^{2}$ de volta na equação resolvida.

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Etapa 4.2.7

Resolva a primeira equação para $z$ .

$z^{2} = - 0.52786404$

Etapa 4.2.8

Resolva a equação para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

Etapa 4.2.8.2

Simplifique $\pm \sqrt{- 0.52786404}$ .

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Etapa 4.2.8.2.1

Reescreva $- 0.52786404$ como $- 1 (0.52786404)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

Etapa 4.2.8.2.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

Etapa 4.2.8.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

Etapa 4.2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = i \sqrt{0.52786404}$

Etapa 4.2.8.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

Etapa 4.2.8.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

Etapa 4.2.9

Resolva a segunda equação para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Etapa 4.2.10

Resolva a equação para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.1

Remova os parênteses.

$z^{2} = - 9.47213595$

Etapa 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

Etapa 4.2.10.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9.47213595}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.3.1

Reescreva $- 9.47213595$ como $- 1 (9.47213595)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

Etapa 4.2.10.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

Etapa 4.2.10.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

Etapa 4.2.10.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = i \sqrt{9.47213595}$

Etapa 4.2.10.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

Etapa 4.2.10.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Etapa 4.2.11

A solução para $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ é $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ .

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ verdadeiro.

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$