Matemática básica Exemplos

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = z^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 5$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $144$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $- 119$ como $- 1 (119)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (119)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 6

Substitua o valor real de $u = z^{2}$ de volta na equação resolvida.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 7

Resolva a primeira equação para $z$ .

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 8

Resolva a equação para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

Etapa 8.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 8.2.4.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 8.2.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 8.2.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 8.2.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.2.4.6

Some $1$ e $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 8.2.4.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.2.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.2.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.2.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.2.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 8.2.4.7.5

Avalie o expoente.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 8.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 8.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 9

Resolva a segunda equação para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 10

Resolva a equação para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

Etapa 10.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 10.3.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 10.3.3

Multiplique $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 10.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 10.3.4.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 10.3.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 10.3.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 10.3.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 10.3.4.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.3.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.3.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 10.3.4.7.5

Avalie o expoente.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.3.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 10.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 10.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 10.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 11

A solução para $4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ é $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ .

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$