Matemática básica Exemplos

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = z^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ e cuja soma é $b = 16$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $16$ de $16 u$ .

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $16$ como $- 9$ mais $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

Etapa 4

Defina $5 u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $5 u - 9$ como igual a $0$ .

$5 u - 9 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $5 u - 9 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$5 u = 9$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $5 u = 9$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $5 u = 9$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

Etapa 5

Defina $u + 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u + 5$ como igual a $0$ .

$u + 5 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$u = - 5$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = z^{2}$ de volta na equação resolvida.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $z$ .

$z^{2} = \frac{9}{5}$

Etapa 9

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{9}{5}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.2.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.4.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 9.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 9.2.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 9.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 9.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 9.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 9.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Etapa 11

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$z^{2} = - 5$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 11.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = i \sqrt{5}$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - i \sqrt{5}$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 12

A solução para $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ é $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$