Matemática básica Exemplos

$z = \frac{1}{z^{2}}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, z^{2}$

Etapa 1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$z^{2}$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $z = \frac{1}{z^{2}}$ por $z^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $z = \frac{1}{z^{2}}$ por $z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $z$ por $z^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $z$ por $z^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$z^{1} z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z^{1 + 2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $z^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$z^{3} = 1$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$z^{3} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = z$ e $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $z$ por $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $z - 1$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $z - 1$ como igual a $0$ .

$z - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$z = 1$

Etapa 3.5

Defina $z^{2} + z + 1$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $z^{2} + z + 1$ como igual a $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $z^{2} + z + 1 = 0$ para $z$ .

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Etapa 3.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ verdadeiro.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$