Matemática básica Exemplos

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ .

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

Etapa 2

Calcule a regra de três.

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Etapa 2.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

Etapa 2.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = z$ .

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

Etapa 3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ como ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(4 + z) (4 - z)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.1.5

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.2.1.5.1

Mova $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $z$ por $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $- 4 z$ e $4 z$ .

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.2.3

Some $16$ e $0$ .

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a regra do produto a $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.5

Simplifique.

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.7

Reordene.

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Etapa 4.2.1.7.1

Mova $16$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Etapa 4.2.1.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

Etapa 5

Resolva $z$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $16 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ por $- y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ por $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $z^{2}$ por $1$ .

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 16}{- 1}$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

Etapa 5.2.3.1.3

Reescreva $- 1 \cdot - 16$ como $- - 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

Etapa 5.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

Etapa 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

Etapa 5.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $16$ de $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ .

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Etapa 5.4.1.1

Fatore $16$ de $- \frac{16}{y^{2}}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $16$ de $16$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $16$ de $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

Etapa 5.4.2.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(\frac{1}{y})}^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

Etapa 5.4.2.3

Reordene $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

Etapa 5.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Etapa 5.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Etapa 5.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

Etapa 5.4.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Etapa 5.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

Etapa 5.4.8

Combine expoentes.

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Etapa 5.4.8.1

Combine $16$ e $\frac{y + 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

Etapa 5.4.8.2

Multiplique $\frac{16 (y + 1)}{y}$ por $\frac{y - 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

Etapa 5.4.8.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

Etapa 5.4.8.4

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

Etapa 5.4.8.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

Etapa 5.4.8.6

Some $1$ e $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

Etapa 5.4.9

Reescreva $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ como ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ .

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Etapa 5.4.9.1

Fatore a potência perfeita ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (y + 1) (y - 1)$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

Etapa 5.4.9.2

Fatore a potência perfeita $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.4.9.3

Reorganize a fração $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

Etapa 5.4.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.4.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.4.12

Combine $\frac{4}{y}$ e $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$