Matemática básica Exemplos

$9 z^{2} - 12 z y + 4 y^{2} = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 9$ , $b = - 12 y$ e $c = 4 y^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $z$ .

$\frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (4 y^{2}))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $4 \cdot 9 \cdot 4 y^{2}$ como ${(2 \cdot 3 \cdot 2 y)}^{2}$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - {(2 \cdot 3 \cdot (2 y))}^{2}}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 12 y$ e $b = 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.1.3.1

Fatore $2 y$ de $- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

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Etapa 3.1.3.1.1

Fatore $2 y$ de $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.1.2

Fatore $2 y$ de $2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.1.3

Fatore $2 y$ de $2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 3 \cdot 2) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 3.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (6 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (12 y))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.3.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - 12 y)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.4

Some $- 6$ e $6$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 12 y - 12 y))}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.5

Subtraia $12 y$ de $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot 0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.6

Combine expoentes.

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Etapa 3.1.6.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.6.2

Multiplique $0$ por $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.6.3

Multiplique $0$ por $- 24$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.6.4

Multiplique $0$ por $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$z = \frac{12 y \pm 0}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.1.9

$12 y$ plus or minus $0$ is $12 y$ .

$z = \frac{12 y}{2 \cdot 9}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$z = \frac{12 y}{18}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $12$ e $18$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $6$ de $12 y$ .

$z = \frac{6 (2 y)}{18}$

Etapa 3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $6$ de $18$ .

$z = \frac{6 (2 y)}{6 (3)}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$z = \frac{6 (2 y)}{6 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$z = \frac{2 y}{3}$

Etapa 4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

Raízes duplas de $z = \frac{2 y}{3}$