Matemática básica Exemplos

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Etapa 1

Simplifique $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $k^{2} + 3 k - 4$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = k$ e $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

Etapa 1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

Etapa 1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = k$ e $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

Etapa 1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum de $k - 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $k - 1$ de $(k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Etapa 1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Etapa 1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $k - 4$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $k - 4$ de $(k + 4) (k - 4)$ .

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Eleve $k + 4$ à potência de $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

Etapa 1.5.2

Eleve $k + 4$ à potência de $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

Etapa 1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

Etapa 1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$k + 1, 1$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$k + 1, 1$

Etapa 2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$k + 1$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ por $k + 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ por $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $k + 1$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

Etapa 3.3.2

Multiplique $a$ por $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $k$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $a k$ dos dois lados da equação.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva ${(k + 4)}^{2}$ como $(k + 4) (k + 4)$ .

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

Etapa 4.1.2.2

Expanda $(k + 4) (k + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

Etapa 4.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

Etapa 4.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.3.1.1

Multiplique $k$ por $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Etapa 4.1.2.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

Etapa 4.1.2.3.2

Some $4 k$ e $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

Etapa 4.2

Subtraia $a$ dos dois lados da equação.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 8 - a$ e $c = 16 - a$ na fórmula quadrática e resolva $k$ .

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Multiplique $- - a$ .

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Etapa 4.5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.2

Multiplique $a$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva ${(8 - a)}^{2}$ como $(8 - a) (8 - a)$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5

Expanda $(8 - a) (8 - a)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.5.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.6.1.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.5

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.6.1.5.1

Mova $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.5.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.1.7

Multiplique $a^{2}$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.6.2

Subtraia $8 a$ de $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.9

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.11

Subtraia $64$ de $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.12

Some $- 16 a$ e $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.13

Some $- 16 a$ e $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.14

Fatore $a$ de $a^{2} - 12 a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.14.1

Fatore $a$ de $a^{2}$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.14.2

Fatore $a$ de $- 12 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.14.3

Fatore $a$ de $a \cdot a + a \cdot - 12$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$