Matemática básica Exemplos

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $k^{\frac{4}{3}}$ como ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Etapa 1.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ e cuja soma é $b = - 65$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $- 65$ de $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $- 65$ como $- 1$ mais $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Etapa 1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Etapa 3

Defina $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ como igual a $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

Etapa 3.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Simplifique ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $4 k^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.1.1.4

Simplifique.

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 k = \pm 1$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$8 k = 1$

Etapa 3.2.4.2

Divida cada termo em $8 k = 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Divida cada termo em $8 k = 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.4.2.2.1.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$8 k = - 1$

Etapa 3.2.4.4

Divida cada termo em $8 k = - 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.4.1

Divida cada termo em $8 k = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 3.2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 3.2.4.4.2.1.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Etapa 3.2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$k = - \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

Etapa 4

Defina $k^{\frac{2}{3}} - 16$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $k^{\frac{2}{3}} - 16$ como igual a $0$ .

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

Etapa 4.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Simplifique ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Simplifique.

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Simplifique $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$k = \pm 4^{3}$

Etapa 4.2.3.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$k = \pm 64$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k = 64$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k = - 64$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = 64, - 64$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ verdadeiro.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Forma decimal:

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$