Matemática básica Exemplos

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

Etapa 1

Subtraia $2 \cos (2 θ)$ dos dois lados da equação.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Use a fórmula do arco triplo para transformar $\cos (3 x)$ em $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Etapa 2.1.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $3 \cos (θ)$ de $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Etapa 3

Fatore $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Etapa 3.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $2$ de $4 \cos^{3} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $2$ de $- 4 \cos^{2} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore $2$ de $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Etapa 3.1.6

Fatore $2$ de $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Etapa 3.1.7

Fatore $2$ de $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Etapa 3.2

Reordene os termos.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

Etapa 3.4

Fatore.

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Etapa 3.4.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

Etapa 3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (θ) = 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 5.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - 0$

Etapa 5.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $2 \cos^{2} (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 \cos^{2} (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 \cos^{2} (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos^{2} (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\cos^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.2.7

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 6.2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 6.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.7.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.7.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.7.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 6.2.7.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 6.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 6.2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6.2.7.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.7.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.8

Resolva $θ$ em $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 6.2.8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 6.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.8.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.8.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.8.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 6.2.8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.8.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.2.8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 6.2.8.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.8.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 6.2.8.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.2.8.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.9

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.10

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$