Matemática básica Exemplos

$2 z^{3} - 16 z - 16$

Etapa 1

Fatore $2$ de $2 z^{3} - 16 z - 16$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 z^{3}$ .

$2 (z^{3}) - 16 z - 16$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $- 16 z$ .

$2 (z^{3}) + 2 (- 8 z) - 16$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $- 16$ .

$2 z^{3} + 2 (- 8 z) + 2 \cdot - 8$

Etapa 1.4

Fatore $2$ de $2 z^{3} + 2 (- 8 z)$ .

$2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$

Etapa 1.5

Fatore $2$ de $2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$ .

$2 (z^{3} - 8 z - 8)$

Etapa 2

Fatore.

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Etapa 2.1

Fatore $z^{3} - 8 z - 8$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2 - 8$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - 8 \cdot - 2 - 8$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$- 8 + 16 - 8$

Etapa 2.1.3.4

Some $- 8$ e $16$ .

$8 - 8$

Etapa 2.1.3.5

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $z + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{z^{3} - 8 z - 8}{z + 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $z^{3} - 8 z - 8$ por $z + 2$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$z$

$2$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$8 z$

$8$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $z^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $z$ .

					$z^{2}$
	$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			+	$z^{3}$	+	$2 z^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $z^{3} + 2 z^{2}$ .

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 z^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					-	$2 z^{2}$	-	$4 z$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 z^{2} - 4 z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 z$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							-	$4 z$	-	$8$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 z - 8$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$z^{2} - 2 z - 4$

Etapa 2.1.6

Escreva $z^{3} - 8 z - 8$ como um conjunto de fatores.

$2 ((z + 2) (z^{2} - 2 z - 4))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (z + 2) (z^{2} - 2 z - 4)$