Matemática básica Exemplos

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Multiplique $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ por $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ por $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{16 + 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Eleve $4 + \sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.5.2

Eleve $4 + \sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} {(4 + \sqrt{5})}^{1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{2}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.6

Reescreva ${(4 + \sqrt{5})}^{2}$ como $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.7

Expanda $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (4 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.1.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.1.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 5}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.2

Some $16$ e $5$ .

$\frac{21 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.8.3

Some $4 \sqrt{5}$ e $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Etapa 1.9

Multiplique $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ por $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

Etapa 1.10

Multiplique $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ por $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}$

Etapa 1.11

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{16 - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 1.12

Simplifique.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.13.1

Eleve $4 - \sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.13.2

Eleve $4 - \sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} {(4 - \sqrt{5})}^{1}}{11}$

Etapa 1.13.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11}$

Etapa 1.13.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{2}}{11}$

Etapa 1.14

Reescreva ${(4 - \sqrt{5})}^{2}$ como $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.15

Expanda $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 (4 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.16

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.16.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.16.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.16.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Etapa 1.16.1.4

Multiplique $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Etapa 1.16.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Etapa 1.16.1.4.2

Multiplique $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Etapa 1.16.1.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{11}$

Etapa 1.16.1.4.4

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{11}$

Etapa 1.16.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{11}$

Etapa 1.16.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{11}$

Etapa 1.16.1.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 1.16.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11}$

Etapa 1.16.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11}$

Etapa 1.16.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Etapa 1.16.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.16.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Etapa 1.16.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{1}}{11}$

Etapa 1.16.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5}{11}$

Etapa 1.16.2

Some $16$ e $5$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}}{11}$

Etapa 1.16.3

Subtraia $4 \sqrt{5}$ de $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5} + 21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Etapa 2.2

Some $21$ e $21$ .

$\frac{42 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{11}$

Etapa 2.3

Subtraia $8 \sqrt{5}$ de $8 \sqrt{5}$ .

$\frac{42 + 0}{11}$

Etapa 2.4

Some $42$ e $0$ .

$\frac{42}{11}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{42}{11}$

Forma decimal:

$3.\overline{81}$

Forma de número misto:

$3 \frac{9}{11}$