Matemática básica Exemplos

$\frac{z^{2} - y^{2}}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Etapa 1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{z^{- 2} - y^{- 2}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $z^{- 2}$ como ${(z^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}$

Etapa 2.2

Reescreva $y^{- 2}$ como ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{{(z^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z^{- 1}$ e $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(z^{- 1} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + y^{- 1}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.3

Para escrever $\frac{1}{z}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.4

Para escrever $\frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $z y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.5.1

Multiplique $\frac{1}{z}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{z y} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.5.3

Reordene os fatores de $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{(\frac{y}{y z} + \frac{z}{y z}) (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (z^{- 1} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - y^{- 1})}$

Etapa 2.4.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} - \frac{1}{y})}$

Etapa 2.4.9

Para escrever $\frac{1}{z}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Etapa 2.4.10

Para escrever $- \frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{1}{z} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Etapa 2.4.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $z y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.11.1

Multiplique $\frac{1}{z}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{z}{z})}$

Etapa 2.4.11.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{z}{z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{z y} - \frac{z}{y z})}$

Etapa 2.4.11.3

Reordene os fatores de $z y$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} (\frac{y}{y z} - \frac{z}{y z})}$

Etapa 2.4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{y + z}{y z} \cdot \frac{y - z}{y z}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{y + z}{y z}$ por $\frac{y - z}{y z}$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y z (y z)}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y z \cdot z}}$

Etapa 4.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1} y^{1} z \cdot z}}$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{1 + 1} z \cdot z}}$

Etapa 4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z \cdot z}}$

Etapa 4.5

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z)}}$

Etapa 4.6

Eleve $z$ à potência de $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} (z^{1} z^{1})}}$

Etapa 4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{1 + 1}}}$

Etapa 4.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(z + y) (z - y)}{\frac{(y + z) (y - z)}{y^{2} z^{2}}}$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(z + y) (z - y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 6

Expanda $(z + y) (z - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(z (z - y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(z \cdot z + z (- y) + y (z - y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Combine os termos opostos em $z \cdot z + z (- y) + y z + y (- y)$ .

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Etapa 7.1.1

Reorganize os fatores nos termos $z (- y)$ e $y z$ .

$(z \cdot z - y z + y z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.1.2

Some $- y z$ e $y z$ .

$(z \cdot z + 0 + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.1.3

Some $z \cdot z$ e $0$ .

$(z \cdot z + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $z$ por $z$ .

$(z^{2} + y (- y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(z^{2} - y \cdot y) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.3.1

Mova $y$ .

$(z^{2} - (y \cdot y)) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(z^{2} - y^{2}) \frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 7.3

Multiplique $z^{2} - y^{2}$ por $\frac{y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) (y^{2} z^{2})}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = y$ .

$\frac{(z + y) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 9

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $z + y$ e $y + z$ .

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Etapa 9.1.1

Reordene os termos.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + z) (z - y) y^{2} z^{2}}{(y + z) (y - z)}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(z - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $z - y$ e $y - z$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $- 1$ de $z$ .

$\frac{(- 1 (- z) - y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- z) - (y)) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- z) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- z + y) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Etapa 9.2.4

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Etapa 9.2.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (y - z) y^{2} z^{2}}{y - z}$

Etapa 9.2.6

Divida $- 1 y^{2} z^{2}$ por $1$ .

$- 1 y^{2} z^{2}$

Etapa 9.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$- y^{2} z^{2}$