Matemática básica Exemplos

$\frac{25 y^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \div \frac{5 y^{2} + 9 y - 2}{3 y^{2} + y - 2}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{25 y^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $25 y^{2}$ como ${(5 y)}^{2}$ .

$\frac{{(5 y)}^{2} - 1}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(5 y)}^{2} - 1^{2}}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5 y$ e $b = 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{9 y^{2} - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 3

Fatore $3 y$ de $9 y^{2} - 6 y$ .

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Etapa 3.1

Fatore $3 y$ de $9 y^{2}$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y) - 6 y} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 3.2

Fatore $3 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y) + 3 y (- 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 3.3

Fatore $3 y$ de $3 y (3 y) + 3 y (- 2)$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + 1 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + (- 2 + 3) y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{3 y^{2} - 2 y + 3 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y^{2} - 2 y) + 3 y - 2}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{y (3 y - 2) + 1 (3 y - 2)}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 y - 2$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + 9 y - 2}$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $9$ de $9 y$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + 9 (y) - 2}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $9$ como $- 1$ mais $10$

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} + (- 1 + 10) y - 2}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{5 y^{2} - 1 y + 10 y - 2}$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y^{2} - 1 y) + 10 y - 2}$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y (5 y - 1) + 2 (5 y - 1)}$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 y - 1$ .

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $5 y - 1$ .

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Etapa 6.1

Fatore $5 y - 1$ de $(5 y + 1) (5 y - 1)$ .

$\frac{(5 y - 1) (5 y + 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 y - 1) (5 y + 1)}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{(5 y - 1) (y + 2)}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 y + 1}{3 y (3 y - 2)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $3 y - 2$ .

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Etapa 7.1

Fatore $3 y - 2$ de $3 y (3 y - 2)$ .

$\frac{5 y + 1}{(3 y - 2) (3 y)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y + 1}{(3 y - 2) (3 y)} \cdot \frac{(3 y - 2) (y + 1)}{y + 2}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 y + 1}{3 y} \cdot \frac{y + 1}{y + 2}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{5 y + 1}{3 y}$ por $\frac{y + 1}{y + 2}$ .

$\frac{(5 y + 1) (y + 1)}{3 y (y + 2)}$